連立方程式の解き方

質問

x^2+y^2=5(a^2+b^2)　…(1)
ax+by=2(a^2+b^2)　　…(2)
の連立方程式があり、x,yについて解けと言う問題です。(x^2はxの2乗の意)

(2)をyイコールの形にしてから(1)に代入し、解の公式を使ってみたのですが、滅茶苦茶になってしまい、いまいち解りません。

ちなみに、答は
(x,y)=(2a-b,a+2b),(2a+b,-a+2b)
なのですが、過程がわからず困惑しております。
どなたか解る方、宜しくお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

単なる計算ミスでしょう。

細かな条件は省略して、とにかくなるべく丁寧に計算してみると、
b≠0のとき、(2) より y = {2(a^2 + b^2) - ax}/b
(1) へ代入して、
x^2 + {a^2x^2 - 4a(a^2 + b^2)x^2 + 4(a^2 + b^2)^2}/b^2 = 5(a^2+b^2)
両辺をb^2倍して整理すると
(a^2 + b^2)x^2 - 4a(a^2 + b^2)x^2 + 4(a^2 + b^2)^2 - 5b^2(a^2+b^2) = 0
(a^2 + b^2){x^2 - 4ax^2 + 4a^2 - b^2} = 0
x = 2a ± b

お礼

回答者さんの仰るとおり、こちらの計算ミスでした。（スミマセン）
しかし、
「b≠0のとき、(2) より y = {2(a^2 + b^2) - ax}/b」
というのは、言われてみれば確かに、この前提無しでは出来ないなあと感じました。
質問内容には書きませんでしたが、確かにbは正の数だったので、安心。
御回答ありがとうございました。

回答No.2

debut

＞(2)をyイコールの形にしてから(1)に代入し

　で{(a^2+b^2)/b^2}x^2-(4a/b^2)(a^2+b^2)x+(4/b^2)(a^2+b^2)^2-5(a^2+b^2)=0　でしょう。両辺にb^2/(a^2+b^2)をかければ
　x^2-4ax+4(a^2+b^2)-5b^2=0
　x^2-4ax+4a^2-b^2=0 なので、
　解の公式で、x=2a+b,2a-b　となります。
　よって、ｘ＝2a+bならｙ＝-(a/b)(2a+b)+(2/b)(a^2+b^2)=-a+2b
　とか、求められます。

お礼

どうやら途中、こちらの計算が誤っていたようです。（汗）
常日頃から、煩雑な計算問題にもチャレンジする必要がありますね。
御回答ありがとうございました！

回答No.1

take_5

ラグランジェの恒等式を使ってみる。

（a^2+b^2）*（x^2+y^2）＝（ax+by）＾2＋（ay-bx）＾2。‥‥(1)
a^2+b^2＝kとすると、x^2+y^2＝5k、ax+by＝2kであるから(1)に代入して、5k＾2＝4k＾2＋（ay-bx）＾2であるから、ay-bx＝±k。
そこで、（ax+by、ay-bx）＝（2k、k）、（2k、-k）の2通りの連立方程式を解くと、確かに答えになる。

お礼

ラグランジェの恒等式…初めて聞きましたが、御回答を拝見する限り、かなり計算が容易になるようで、ぜひともマスターしようと思います。
御回答ありがとうございました！