連立方程式

質問

aを実数の定数として、x,yの連立方程式(a+2)x+3y=a , (2a-1)x+ay=3を考える。連立方程式がただ一つの解をもつとき、x,yをそれぞれ求めよ。(aを用いて)

このような問題なのですが、そもそも連立方程式がただ一つの解をもつ条件とは何なのですか？教えて下さい！！！

回答No.4

Lokapala · ベストアンサー

＞そもそも連立方程式がただ一つの解をもつ条件とは何なのですか？

ｘ、ｙの値が定まるということです。[ax+by=c,dx+ey=f](a～fは定数)で、ｘ、ｙがただ一つの解をもつ条件というのはtを定数として、（a=td,b=te,c=tf)が成り立つことです。もっと簡単にいえば、片方の式の両辺にある数をかけるともう片方の式になるということです。こうなると、２つの式があっても結局1つの式があるのと同じこととなり、連立方程式を解くことができなくなります。

グラフで考えてみましょう。
連立方程式を解くということは、条件式であらわされるグラフ同士の交点の座標を求めるということです。与えられた条件で表わされるグラフが直線の場合、交点は１つになり、ｘ、ｙの値はただ一つに定まります。しかし、例外もあります。与えられた条件であらわされたグラフが完全に重なってしまった場合です。こうなると、交点はグラフ上のすべての点となり、ｘ、ｙはただ一つの値を取ることにはなりません。そして、グラフが重なるということは先ほど述べたことと一致します。

質問と直接関係ありませんが、数学などでわからない問題があった時、回答を見てこうやって解くのだと、無理やり納得して進むことも一つの手です。似た問題を解いてく内に、それらはちゃんと納得できるようになります。

回答No.8

info22

#5です。
A#5は計算ミスをしていますので無視して、以下で差し替えて下さい。

(a+2)x+3y=a…(1)
(2a-1)x+ay=3…(2)
(1)から
y=-((a+2)*x-a)/3…(3)
(2)に代入して整理すると
(a-3){(a-1)*x-(a+3)}=0…(4)

a=3の場合
(1),(2)は
5x+3y=3…(1')
5x+3y=3…(2')
で２つの直線が一致する。
従って、交点が1つのみにならないので不適。
a≠3の場合(4)から
(a-1)x=a+3…(5)
a=1とすると(5)を満たすxが存在しない。
この時(1),(2)は
x+y=1/3…(1")
x+y=3…(2")
２つの直線は平行な異なる直線で
交点が存在しないことが確認できる。
従ってa≠1
この時(5)から
x=(a+3)/(a-1)…(6)
これを(3)に代入して
y=-2(a+1)/(a-1)…(7)

従ってa≠1,3の時、
ただ1つの交点が存在し次式で与えられる。
x=(a+3)/(a-1),y=-2(a+1)/(a-1)

お礼

ありがとうございます!!
解答も連立方程式がただ一つの解をもつ条件もよくわかりました。

回答No.7

Mr_Holland

＃６です。
　誤りがありましたので、下記の通り訂正させてください。

＞（誤）Ａ：Ｂ≠Ｃ：Ｄ
　（正）Ａ：Ｂ≠Ｄ：Ｅ

回答No.6

Mr_Holland

＞そもそも連立方程式がただ一つの解をもつ条件とは何なのですか？

　それぞれの１次関数は、ｘｙ平面上でそれぞれ直線を表します。
　そして、「連立方程式がただ一つの解をもつ」ということは、２つの直線がただ１点で交わると言うことです。
　２つの直線がただ１点で交わる条件は、ただ１つです。それは、ｘとｙの係数の比が一致しないと言うことです。
　たとえば、２つの１次関数が次のように表されるとします。
　　Ａｘ＋Ｂｙ＝Ｃ、　Ｄｘ＋Ｅｙ＝Ｆ
　このとき、「２つの直線がただ１点で交わる条件」は次のようになります。
　　Ａ：Ｂ≠Ｃ：Ｄ
　（もし、ここで不等号が等号になった場合は、Ｃ＝Ｆで２つの直線は一致し無数の解を持ち、Ｃ≠Ｆで２つの直線は平行となり解はなくなります。）

　このことから、この問題では「連立方程式がただ一つの解をもつ条件」は次のようになります。

　　(a+2)：3≠(2a-1)：a
　⇔(a+2)a≠3(2a-1)
　⇔a^2-4a+3≠０
　⇔(a-3)(a-1)≠０
　∴a≠1かつa≠3

　あとは、この条件の下で成り立つｘ、ｙを求めればよいと思います。

回答No.5

info22

連立方程式を機械的に解けば
x=(2a+9)/(5a-3),y=-(4a+1)/(5a-3)…(■)
と出てきます。
連立方程式がただ1組の解を持つためには
共通の分母
5a-3≠0
かつ
2つの直線が一致しないこと。
a≠3/5であれば（■）の1組の解だけ存在します。
1組だけ存在する事は2直線が一致しない事を意味します。
a≠3/5が求める条件で、この場合のx,yは(■)となります。

一方、a=3/5の場合を調べると
2つの方程式は平行か一致するかの場合です。
実際に直線の式に代入すると式を整理すると
x+3y=-2
x+3y=15
となり平行直線となります。
従って、平行直線となり、2直線は一致はしません。
この場合は、2直線の交点が存在しないことが分かります。

回答No.3

sanori

こんばんは。

ａを数字だと思って、とりあえず連立方程式を解いてみればいいです。

（ａ＋２）ｘ　＋　３ｙ　＝　ａ　　・・・（あ）
（２ａ－１）ｘ　＋　ａｙ　＝　３　　・・・（い）

（あ）より、
３ｙ　＝　ａ　－　（ａ＋２）ｘ
ｙ　＝　｛ａ　－　（ａ＋２）ｘ｝／３　　・・・（う）

これを（い）に代入して
（２ａ－１）ｘ　＋　ａ｛ａ　－　（ａ＋２）ｘ｝／３　＝　３
３（２ａ－１）ｘ　＋　ａ｛ａ　－　（ａ＋２）ｘ｝　＝　９
（６ａ－３）ｘ　＋　ａ^2　－　（ａ^2 ＋２ａ）ｘ　＝　９
（－ａ^2 ＋４ａ－３）ｘ　＋　ａ^2　＝　９
（ａ^2 －４ａ＋３）ｘ　＝　ａ^2　－　９
（ａ－１）（ａ－３）ｘ　＝　（ａ＋３）（ａ－３）　　・・・（え）
ここまで来てから、
「さー、次はどうしようか」
と考えればよいわけです。

もしも、ａ＝３　ならば、　上記の式は　０＝０　になってしまい、
ｘが何であっても成り立つからダメです。

つまり、「ただ一つの解をもつときは、ａ≠３」です！！！！！

ということは、
・ａ＝３　ではない、ということ
・両辺を（ａー３）で割ってよい
という２つのことが言えるわけです。
ですから、（え）の両辺を　ａ－３　で割って、
（ａ－１）ｘ　＝　ａ＋３　　　・・・（え）
だということがわかりました。

（え）で、もしも　ａ＝１　だと、　０　＝　１＋３　と、おかしくなるのでダメですが、
ａ≠１　であれば、（え）の両辺を、ａ－１　割って、
ｘ　＝　（ａ＋３）／（ａ－１）
と　ｘが求まりました。

これを（う）に代入すれば、ｙも求まります。

筆記試験の解答では、たぶん、ｘ、ｙ、のほかに、
「ただし、ａ≠１」
の一言も書いたほうがよいと思います。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

とてもわかりやすいです!!!
ありがとうございます。

回答No.2

gamjtpdjmj

連立方程式がただ１つの解を持つ、というのが分かりにくいならば、先の２式に当てはまるＸ、Ｙが１つしかないと考えて問題ありません。
解法についてですが、どちらかの式についてＸかＹイコールで解いてもう片方の式にそのＸなりＹなりを当てはめれば自然に解答が出るはずです。その過程でａが実数という条件を使うのでしょう。

回答No.1

egarashi

二つの方程式を一次関数として見ると、
I.解がないとき
二つの直線が平行で重ならないとき
II.解が1つ決まるとき
二つの直線が交わるとき(平行でない)
III.解が無数に存在するとき
二つの直線が平行でぴったり重なっているとき

お礼

なるほど…
つまり普通に連立方程式を解いて解が出る場合が解が1つ決まるとき
なのですね!!