方程式

質問

xの方程式{(x＾2)ー１} {(x＾2)＋ax＋4}=0が相異なる３つの実数解をもつとき実数aの値を求める問題で
{(x＾2)ー１}=0を(1)
{(x＾2)＋ax＋4}=0を(2)とすると

(1)は
X＾2=1から
ｘ＝±1ということはわかります
これを(2)に代入するとa=5,-5
(2)
は判別式が使えそうなので
判別式をつかうと
D=(a＾2)-16=0になりました
a=±4
また(2)に代入すると
ｘ＝±2になります
ここまでしかわかりません

回答No.9

noname#9862 · ベストアンサー

Re:（１）と（２）は理解できましたが（３）でなぜ重解を考えるのが教えてください

乗りかかった舟なので・・・稚拙な文章ですが・・・。

重解（重根）を考えなければならない理由は、単純に言えば、本来、4次式であれば4つあるはずの実数解が3つしかないと問題文で条件づけられているからです。

極々単純化すると、
{(x＾2)ー１} {(x＾2)＋ax＋4}=0
は
(x+1)(x-1)(x+α)(x+β)=0
の形に因数分解できるはずです。
そうすると、
x=1,-1,α,βが解のはずです。

しかし、
問題文上、『xは相異なる３つの実数解』とされているので、
本来4つあるはずの解を3つにしなければならないのです。

そこで、
xの解が3つになる組み合わせを考えなければならなくなります。

そして、
xの解が3つになる組み合わせをαを中心に考えると、
α= 1かつβ≠±1かつβは実数
α=-1かつβ≠±1かつβは実数
α= βかつα=β≠±1かつα(=β)は実数
の組み合わせとなります。

そして、
α= βであれば、
{(x＾2)＋ax＋4}=0
は(x+α)＾2=0
ということになり、
xは重解でかつx≠±1の実数になりますよね？

したがって、
重解を考えざるを得ないのです。

まあ、こんなところです。
ますます混乱させてしまったらすみません。

回答No.11

sunasearch

>を求める問題で
{(x＾2)ー１}=0を(1)
{(x＾2)＋ax＋4}=0を(2)とすると
>(1)は...
>(2)は判別式が使えそう

問題を解く時には、やみくもに解きはじめるのではなく、先に、どうすれば解が得られるかを考えましょう。

つまり、４次方程式において、相異なる３つの実数解を持つ場合というのがどういう場合になるかを考える必要があります。

するとまず、＃７さんの回答のような場合分けが現れます。

そこで、場合分けされた各場合に対して、それぞれのaの値を求めればよいことがわかり、＃６さんのような回答の中で、初めて判別式が使えることがわかるのです。

順序立てて物事を考える練習をしないと、ここで教えてもらったものと同じ問題は解けるかもしれませんが、似たような別の問題が解けるようにはなりません。

数学は論理的思考力が大事ですから、問題を解くだけではなく、その考え方を覚えていきましょう。

回答No.10

noname#9862

投稿直後に間違いを発見してしまったので、訂正させて下さい。

(x+1)(x-1)(x+α)(x+β)=0
の形に因数分解できるはずです。
という部分を

(x+1)(x-1)(x-α)(x-β)=0
の形に因数分解できるはずです。
に訂正します。

回答No.8

twins-mama

回答としてはNo.6さんが完璧に書いてらっしゃるので、考え方だけ。

(x＾2)＋ax＋4=0
の実数解を　
x=●,▲
としましょう。すると、
（x-1)(x+1){(x＾2)＋ax＋4}=0
の解は
x=1,-1,●,▲
となります。この見かけ上4つの解が、相異なる３つの実数解になるときは次の3通りが考えられます。

(1)●=1　のとき　x=1,-1,▲の3つの実数解を持つ
(2)▲=-1　のとき　x=1,-1,●の3つの実数解を持つ
(3)●=▲　のとき　x=1,-1,●(=▲)の3つの実数解を持つ

(3)の(x＾2)＋ax＋4=0の解x=●,▲　が一致するときが (x＾2)＋ax＋4=0が重解を持つという意味です。
ただし、この 重解が1か-1であれば解は2つになってしまいますから、 重解が±1以外であることを確認しましょう。

回答No.7

twins-mama

回答としてはNo.6さんが完璧に書いてらっしゃるので、考え方だけ。

(x＾2)＋ax＋4=0
の実数解を　
x=●,▲
としましょう。すると、
（x-1)(x+1){(x＾2)＋ax＋4}=0
の解は
x=1,-1,●,▲
となります。これが相異なる３つの実数解になるときは次の3通りが考えられます。

(1)●=1　のとき　x=1,-1,▲の3つの実数解を持つ
(2)▲=-1　のとき　x=1,-1,●の3つの実数解を持つ
(3)●=▲　のとき　x=1,-1,●(=▲)の3つの実数解を持つ

(3)の(x＾2)＋ax＋4=0の解x=●,▲　が一致するときが (x＾2)＋ax＋4=0が重解を持つという意味です。
ただし、この 重解が1か-1であれば解は2つになってしまいますから、 重解が±1以外であることを確認しましょう。

回答No.6

noname#9862

20年ぶりくらいに数学やってみます。

　まず、前提として(x＾2)というのは、xの自乗ということですよね？

　それを前提として、問題の式を因数分解すると、
（x-1)(x+1){(x＾2)＋ax＋4}=0

　そして、与式が相異なる３つの実数解をもつときとは、
{(x＾2)＋ax＋4}=0の解がx=1,-1または±1以外の重解をもつときである。

したがって、
(1)　{(x＾2)＋ax＋4}=0の解がx=1のとき、
　　aの値は(1＾2)+a+4=0　
　　すなわちa=-5　となり、
　　そして、a=-5のとき{(x＾2)＋ax＋4}=0はx=4,1で
　　あるからa=-5は題意を満たす。　

(2)　{(x＾2)＋ax＋4}=0の解がx=1のとき、
　　aの値は(-1＾2)-a+4=0
　　すなわちa=5　となり
　　そして、a=5のとき{(x＾2)＋ax＋4}=0はx=-4,-1で
　　あるからa=5は題意を満たす。　

(3)　{(x＾2)＋ax＋4}=0の解が重解をもつときとは、
　　{(x＾2)＋ax＋4}=0の判別式
　　(a＾2)-4*1*4=0が成立するときであり、
　　すなわち　(a＾2)=16、a=±4のときである。
　　そして、a=4のときx=-2
a=-4のときx=2
であるからa=±4は題意をみたす。

したがって、解はa=±5,±4

舌足らずな説明ですが、多分あっていると思います。
この問題は、
与式が相異なる３つの実数解をもつときとは、
{(x＾2)＋ax＋4}=0の解がx=1,-1または±1以外の重解をもつときである。
ということに気づくことがポイントですね。
（これって高1位の問題ですか?)
検算はしてありますが、間違っていたらすみません。

補足

ありがとうございます
（１）と（２）は理解できましたが（３）でなぜ重解を考えるのが教えてください

回答No.5

info22

ヒントのみ示します。
後は自分でお考え下さい。

D=0の場合はD=0とするaの値を(2)の式に代入した時の重根が(1)の根のどちらか一方と一致するかを調べる。一致すればOK
D>0の場合は(1)の根を(2)に代入してaを求めD>0の場合の条件を満たすか確認、OKなら改めてそのaの値を（2）に代入して2根を求めて異なる3根になっていることを確認
D<0の場合は（2）が実根を持たないので対象外です。

回答No.4

macchan1

＞(1)はX＾2=1からｘ＝±1ということはわかります
＞これを(2)に代入するとa=5,-5

この段階では、x＾2＋ax＋4の解の１つが±1の場合の二次式を求めていますので、まだ解答の候補にしか過ぎません。
すなわち、x＾2＋ax＋4の解の１つが±1の場合に、それ以外にもう１つの解±4があることを証明する必要があります）。

もう１つの３つの実数解をもつ可能性としては、x＾2＋ax＋4の解が重根となる場合で、この場合は判別式が0になる必要があります。この場合もその解が±1以外になることを証明する必要があります。

回答No.3

Noy

(x^2-1)(x^2+ax+4)=0 ----- (*)
(*)が３つの異なる実数解を持つときを考えるのですね。
今、解として、x^2-1=0より、x=±1は定まっています。だから、x^2+ax+4=0 があと解を1つもてばいい。
と考える人が多いです。しかし、これは違います。なぜなら、x^2+ax+4=0が、x=1, x=-1のいずれかを解にもつとき、若しくはx=±1を解に持つときがある可能性があるからです。これらについても考えなくてはなりません。

x^2+ax+4=0が
i)x=±1を解に持たないとき、
ii)x=1を解にもつとき、
iii)x=-1を解にもつとき、
iv)x=±1をともに解にもつとき（←これは、解の合計が２つになってしまうので、問題外ですが。）

i)ii)iii)iv)について、それぞれどーなればよいか考えて下さい。「解をもつ」ということは、その解をもつ式に代入しても成り立つ、ということです。

今ぱっと考えたので…間違っていましたら、申し訳ありません。

補足

答はa=±4,±5なのですが導き方がよくわかりません

回答No.2

seiji91

ごめんなさい。見落としてました。実数解の数は４つじゃなくて３つですね。じゃあ、答えは質問分に書いてあるね。がんばってください。

回答No.1

seiji91

(1)と(2)は　同時に　零になる必要は無いんですよ。
D>=0となる　ａの範囲が答えじゃない？