3次方程式と解と係数の問題

質問

3次方程式の解と係数の問題です。

問題
X＾3ー2X＾2ーX＋3の3つの解をα、β、γと
するとき、α＋β、β＋γ、γ＋αを解とする
3次方程式を1つ作りなさい。

という問題です。分からなくなってしまいました。
教えて下さい！途中式など詳しくお願いします！

回答No.1

dieucreateur

解と係数の関係は式の展開と係数比較によります。

つまり、解をa,b,cとするとき、（x-a)(x-b)(x-c)=０ なので
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=０　となる。

これによって元の方程式から、（X＾3ー2X＾2ーX＋3=０、ですよね？）
α＋β＋γ＝２
αβ＋βγ＋γα＝－１
αβγ＝-３
また、新たに作る方程式のひとつは、
{x-(α＋β)}{x-(β＋γ)}{x-(γ＋α)}＝０
⇔x^3-{(α＋β)+(β＋γ)+(γ＋α)}x^2
　+{(α＋β)(β＋γ)+(β＋γ)(γ＋α)+(γ＋α)(α＋β)}x
　-(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)=０
⇔x^3-2(α＋β＋γ)x^2
+{（α＋β＋γ）^2+αβ＋βγ＋γα}x
-(2-γ)(2-β)(2-α) ←解と係数の関係の式を利用
＝０
⇔x^3-4x^2+(4-1)x-8+4(α＋β＋γ)-2(αβ＋βγ＋γα)+αβγ=0
⇔x^3-4x^2+3x-1=0

ではないでしょうか。
途中計算ミスがあるかもしれません。。。