２次方程式の問題(証明)です。

質問

≪問題≫f(x)=ax^2+bx+cにおいてcが奇数，aとbがともに整数で，a+bは偶数のとき，方程式f(x)=0は整数解をもたないことを示せ。

≪自分の解答（途中）≫
a+bが偶数であることから，
a,bともに偶数のときと，
a,bともに奇数のときがある。

これから，解と係数の関係とかを使うのかという検討もしてみたのですが，全然わかりません＾＾；
もしよければ教えてください＾＾

よろしくお願いします。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

証明のアウトラインだけ示す。
細かいところは、貴方で補って欲しい。

a、bともに偶数ならば、任意の整数xに対し、
f(x)=ax^2 +bx +c
=（偶数）+（偶数）+（奇数）
=（奇数）≠0
a,bともに奇数ならば、任意の整数xに対し、
xが奇数ならば、f(x)=ax^2 +bx +c
=（奇数）+（奇数）+（奇数）
=（奇数）≠0
xが偶数ならば、f(x)=ax^2 +bx +c
=（偶数）+（偶数）+（奇数）
=（奇数）≠0
よって、いずれの場合にもf(x)=0を満たす整数xは存在しない。

お礼

ありがとうございました。
ｘを整数として、逆に考えるという方法とは…
すごい回答ありがとうございました＾＾