- ベストアンサー
背理法についての質問です
p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。 という問題です。 √2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか? √2が有理数であると仮定し,これをn/mとおく. (ここに,m,nは整数で互いに素) 両辺を2乗すると 2=(n/m)^2 2m^2=n^2 よって,nは2の倍数・・・(1) n=2kとおく 2m^2=4k^2 m^2=2k^2 よって,mは2の倍数・・・(2) (1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し,矛盾. ゆえに,√2は無理数
- fenghuang
- お礼率68% (112/163)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
pは非零の有理数ですか? それなら、√2が無理数であることを示して、(これはその書き方で問題ないかと) p√2=r(rは有理数とでも置いて)と仮定して √2=r/p=有理数 で矛盾でいいですよ^^ 有理数÷有理数は当然有理数 ただ、pの条件次第では pが実数ならp=√2で整数になりますし、 有理数でも p=0ではp√2=0で整数になってしまいます。
その他の回答 (2)
関連するQ&A
- 背理法「√2が無理数である」の証明について
背理法で√2が無理数であることを証明しなさいという問題について質問です。 先日高校の友達に背理法について聞かれたので教えていました。√2が有理数だと仮定して√2=n/m(n/mは既約分数)と表す。そこから二乗したりして計算して最終的にn=2の倍数、m=2の倍数となりn/mは既約分数とは言えず仮定と矛盾するので元の命題が成り立つと言えるという説明をしました。(もちろんどんな計算をすれば良いかもきちんと説明しました。) すると友達から「でもn/m=2k/2tだとして、約分したら既約分数になるじゃん。それが矛盾してるっていうのが意味わかんない。」と言われました。 私は「既約分数だと仮定してたのにまだ約分できた、既約分数じゃなかったってなったら矛盾でしょ?むしろ矛盾を導くために2k/2tに持っていくんだよ。」と説明したのですがあまり納得してないみたいでした。 そこで私もなんだかよく分かんなくなってきてしまったので、他に良い説明の仕方があれば教えていただきたいと思い質問しました。 長々とすみません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法と命題の否定について
背理法と命題の否定について 例えばp⇒qを背理法を用いて証明するとき、p⇒qの否定を仮定すると、すなわち、pであってqでないものが存在すると仮定すると矛盾が生じるから、(否定が偽ならもとの命題は真であるから、)p⇒qである。ということなんですよね? では、「nが自然数のとき、n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数である」を背理法を用いて証明するとき、冒頭の文は、「nが自然数、n(n+2)が8の倍数であり、奇数であるnが存在すると仮定する。」というのでいいんですよね? 普通参考書などではもっと簡潔に「nが奇数であると仮定する。」などと書いてあるのは、わざわざ長々と書かなくてもわかるからということなのでしょうか? しかしこの書き方だと、「全てのnが奇数であると仮定する」と言っているようにも取れるように思うのですが… p⇒qの否定は決して「p⇒qの余事象」ではないですよね? 自分の解釈に自信がもてなくて… 間違っているところがありましたら、ご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校レベルの数学の問題(方程式)教えてください!!
整数a,bを係数とする2次方程式X^2+aX+b=0が有理数の解αをもつときαは整数であることを示せ。 問題集の解答 α=n/m(m,nは互いに素な整数、mは0でない) とおく。 「質問壱 α=n/mと置いたのは有理数の形にした。だけ?」 αはX^2+aX+b=0の解なので (n/m)^2+a(n/m)+b=0 n^2+amn+bm^2=0 mが±1でない ならば、mはある素因数Pを含む。 「質問弐 ±1の条件はm=±1ならαは整数になるから?でも整数も有理数なのだからそのままでもいいのでは?」 するとn^2=-m(an+bm)も素因数Pを含む。 n^2の素因数はnの素因数だから、Pはnの素因数となり、m,nは公約数Pをもつことになる。これはm,nが互いに素であるという仮定に反する。よってm=±1 α=±n(整数) 実を言うとこの解答はほとんどわかっていません。 1.α=n/mという有理数の形にしてみる。 2.実際に与式にn/mを代入したとき、n/mが約分して整数の形になってしまう。だからαが有理数の解ならαは必ず整数ってことが証明できる。っていうことをしているんでしょうか?? でも解答みるとなんか難しいことかいてるんで良くわからなくて?こんなに難しいことしないと駄目なんでしょうか??解答ってこれ背理法ってやつですか?あまり背理法理解してないもんで。これ背理法かどうかもわからない。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 帰納法と背理法の注意点について
「nを正整数とする。(2^n) + 1は15で割り切れないことを示せ。」という問題です。 解答は帰納法で解くのではなく、nを具体化していくと15で割ったあまりが3,5,9,2・・・のパターンで推移していくのを証明すればいい問題なのですが、これに対して私は帰納法と背理法をミックスして以下のように解こうと思ったのですがだめですか。 (2^n) + 1は15で割り切れると仮定し、それを帰納法で表す。 n=1のとき3となり15で割り切れない。 n=kのとき15で割り切れると仮定する。つまり (2^k) + 1=15m ⇔2^k=15m-1・・・(1)が成り立つと仮定する。 (1)より (2^k+1)=2(15m-1) =15・2m - 2 となり矛盾する。よって(2^n) + 1は15で割り切れない・・・(終) どこかおかしそうな気がするのですが、結論として帰納法は帰納法単独でしか使えないのでしょうか。この問題は帰納法単独だけでは「(2^n) + 1は15で割ると13余る数ではない」ということしか証明できないので困ります。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学入試レベルの証明問題です。
X^3+2X-1=0の実数解をαとするとき(1)~(3)を証明しなさい。 (1)αが唯一1つ存在 (2)αは無理数 (3)pα^2+qα+r=0をみたすp、q、rは存在しない。 (4)1/αと1/(α+1)をpα^2+qα+rの形であらわせ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)は(与式)=f(X)のグラフより証明できました。 (2)は背理法でα=n/m(n,mは2以上で互いに素)とおいてみましたが、 最終的に (m-n)(m^2+mn+n^2)=2m^n でいきずまりました。 (2)でどのような点に着目するべきだったか と (2)~(4)の解き方と答えを教えて下さいm(o_o)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直接証明と背理法
http://www.amazon.co.jp/review/R1JEGJU88JQWPS/ref=cm_cr_rdp_perm のコメントを見て疑問が出てきました。 まず、議論の前提を書きます。 [前提 1] 議論の範囲は、上のリンクのコメントの以下です。 文頭の 『「√2が無理数」の証明は』 から、 段落が変った『つまり』 の手前まで。 [前提 2] 『直接証明』の、言葉の定義は知りませんが、 少くとも、『背理法』かつ『直接証明』という証明は存在しないと思っています。 以降その理解で書くので、これが変であれば指摘して下さい。 では、疑問(本題)を書きます。 [疑問 1] 私には、これは背理法に見えます。 なぜなら、 [仮定] m, n を非負整数(同時に m/n を有理数となる)。 [目標] 『2n^2』と『m^2』の『2に関するベキ指数』が合わない と、なっていて [仮定] 証明したい事と逆になっている(『√2 が無理数』に対して、『√2 が有理数』を仮定) [目標] 矛盾を導く という、背理法のフォーマットに沿っていると思えるからです。 あと、m,n は 非負整数 とは書いていませんが、 「2に関するベキ指数」を実数や分数について考えるのは変な感じがしたからです。 非負 にしたのは、「(0も含め)」とあったからです。 [疑問 2] これは前から思っていた事なのですが、 そもそも「ある数が無理数である事」を直接証明できるのでしょうか? (直接証明の意味が分かっていないのに、この言葉を使うのは変なのですが) 有理数は m/n の様な数式としての表現を持っていますが、 無理数は「有理数ではない実数」なので、この様な表現は無いと思っています。 (√x とか特殊な無理数を数式として表現する事を不可能と言っているのではないです) だから、少くとも数式を使ってこれを考えるには、「有理数(m/n)ではない」とするしか無い気がします。 (背理法でなければならないかについては、よく分かりません) と、書きましたが、私は実数に関して知識がほとんどないので、その点がこの考えの弱い部分だと思っています。 (実数も、一般的な数式の表現を持っていないと思っていますが) よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
助かりました。 ありがとうございます。