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背理法についての質問です

p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。 という問題です。 √2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか? √2が有理数であると仮定し,これをn/mとおく. (ここに,m,nは整数で互いに素) 両辺を2乗すると 2=(n/m)^2 2m^2=n^2 よって,nは2の倍数・・・(1) n=2kとおく 2m^2=4k^2 m^2=2k^2 よって,mは2の倍数・・・(2) (1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し,矛盾. ゆえに,√2は無理数

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • orcus0930
  • ベストアンサー率41% (62/149)
回答No.3

pは非零の有理数ですか? それなら、√2が無理数であることを示して、(これはその書き方で問題ないかと) p√2=r(rは有理数とでも置いて)と仮定して √2=r/p=有理数 で矛盾でいいですよ^^ 有理数÷有理数は当然有理数 ただ、pの条件次第では pが実数ならp=√2で整数になりますし、 有理数でも p=0ではp√2=0で整数になってしまいます。

fenghuang
質問者

お礼

助かりました。 ありがとうございます。

その他の回答 (2)

  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.2

p√2はp乗根(=2^(1/p))で良いのかな? それなら証明は平方根と同様ですね。 両辺を2乗する代わりにp乗するだけでほとんど違いはないでしょう。

fenghuang
質問者

補足

書き方が悪かったです。 p と√2 の積です

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

一応確認ですが, 「p√2」って何を表していますか? 有理数 p と√2 の積なら, 同じようにやってもいいし √2 が無理数であることを使って「p√2 が有理数だ」と仮定して帰納法でもいい.

fenghuang
質問者

補足

p と√2 の積です

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