背理法で√2が無理数であることを証明する方法
- √2が無理数であることを背理法によって証明する方法について説明します。
- 仮に√2が有理数であると仮定すると、最終的に矛盾が生じることを示します。
- 友達の疑問に対して、約分した形でも仮定が成り立たなくなることを説明します。
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背理法「√2が無理数である」の証明について
背理法で√2が無理数であることを証明しなさいという問題について質問です。 先日高校の友達に背理法について聞かれたので教えていました。√2が有理数だと仮定して√2=n/m(n/mは既約分数)と表す。そこから二乗したりして計算して最終的にn=2の倍数、m=2の倍数となりn/mは既約分数とは言えず仮定と矛盾するので元の命題が成り立つと言えるという説明をしました。(もちろんどんな計算をすれば良いかもきちんと説明しました。) すると友達から「でもn/m=2k/2tだとして、約分したら既約分数になるじゃん。それが矛盾してるっていうのが意味わかんない。」と言われました。 私は「既約分数だと仮定してたのにまだ約分できた、既約分数じゃなかったってなったら矛盾でしょ？むしろ矛盾を導くために2k/2tに持っていくんだよ。」と説明したのですがあまり納得してないみたいでした。 そこで私もなんだかよく分かんなくなってきてしまったので、他に良い説明の仕方があれば教えていただきたいと思い質問しました。 長々とすみません。よろしくお願いします。
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「(n/mは既約分数)と表す」という表現が分かりにくくて、普通は「ある正整数m, nが存在して、mとnは『互いに素』でかつ√2 = m/n となる」という風に述べる。 で、色々変形すると、mもnも2の倍数になってしまうので、mとnが互いに素、という事に反する、という風に述べる。
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- asuncion
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n^2 = 2m^2 の両辺を素因数分解したときの2の個数が異なるので矛盾、でもいいかも。
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