背理法

質問

例えば√２が無理数であることを証明する際に有理数であると仮定して矛盾を示しますが、その際に√２＝ｑ/ｐと置いたとして、このときに、『ｐ、ｑは互いに素な整数』とするのはなぜでしょうか？

回答No.5

shkwta · ベストアンサー

背理法による√2が無理数であることの証明はわかりにくいので、かみ砕いて説明します。

＜有理数の定義＞
２つの整数a,b を用いて、a/b　と表わせる実数を有理数といいます。

＜有理数の性質1＞
xを有理数とします。有理数だから、上の有理数の定義により、整数a,bを用いて x = a/b と表わせます。このaとbの組は無限にあります。たとえば、0.4という有理数は、2/5, 4/10, 6/15, (-4)/(-10) などと表わせます。

＜有理数の性質2＞
xを有理数とします。xは、整数a, bを用いて x = a/b と表わせます。aとbの組は無限にありますが、その中に必ず aとbが互いに素である組があります。なぜなら、aとbが互いに素でないとき、aとbの最大公約数をc とすると、(a/c)と(b/c)が互いに素な整数となり、しかも x = (a/c)/(b/c)となるからです。
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さて、証明に戻ります。
No.1様の回答に書いてある証明は、何を証明しているかというと

『√2 = p/q となる整数p, q の組があったとしたら、そのような組はすべて、pとqが互いに素にならない。』

ということです。

√2が有理数なら、＜有理数の性質2＞より、少なくとも１つは互いに素なp,qの組があるはずです。ところが、√2=p/q と仮定した場合、互いに素なp,qの組はないというのです。つまり、√2では、＜有理数の性質2＞が成立しません。だから、√2は有理数ではありません。

説明は以上ですが、補足すると：
√2は有理数ではないので、『√2 = p/q となる整数p, q の組』なんて元々無かったのだ、という結論になります。

回答No.4

daimaounari

ありがとうございます。それと一般に有理数とはｑ/ｐの形でｐ、ｑが互いに素な整数を指すのでしょうか？

そうです、そもそもそれが有理数の定義です。互いに素ではなくてもpとq最大公約数で割ってどうせ互いに素にするでしょ（約分）あとしたの法の回答で

11p^2=q^2（甲）

となりqは１１の倍数になります

としましたが、これは
p^2=11k^2が導かれます。ｐ＾２も１１の倍数になります。１１は素数なのでp^2が１１の倍数なら、ｐも１１の倍数でないとおかしいです

とおなじ理論です。書き間違えました。

回答No.3

rinkun

有理数の定義自体は整数の比で表せることだけですが、分子分母が共通因数を持てば約分して共通因数を持たない形に変形できますので、初めから分子分母は互いに素と仮定して構わないのです。

回答No.2

daimaounari

丁寧なご回答ありがとうございます。ひとつ気になったのですが例えば√１１＝ｑ/ｐとして同じことをしたときにはｑは１１の倍数になりますが、このときｐは１１の倍数にならないような気がするのですが・・・？

いいえなります。同様に両辺を２じょうして

11p^2=q^2（甲）

となりqは１１の倍数になります。そこで
q=11k（乙）
(kは整数とする)とおけます。

乙を甲に代入すると、
11p^2=121k^2が導かれ、両辺を１１で割って

p^2=11k^2が導かれます。ｐ＾２も１１の倍数になります。１１は素数なのでp^2が１１の倍数なら、ｐも１１の倍数でないとおかしいです。つまりpとｑどちらも
１１の倍数になるので互いに素ではないことになります。よってルート１１は無理数

補足

ありがとうございます。それと一般に有理数とはｑ/ｐの形でｐ、ｑが互いに素な整数を指すのでしょうか？

回答No.1

Nao_F

確かこんな証明でしたよね。（文中 ^2 は「2乗」のこと）

＝＝証明開始＝＝

√2＝q/p
両辺を２乗して 2＝q^2/p^2
両辺にp^2 をかけて 2p^2＝q^2

このとき明らかに q^2 は偶数である。
2乗して偶数になる整数は偶数である。つまり q は偶数であり、2 を約数に持つ。...(1)

このとき q^2 は 4 の倍数になる。つまり 2p^2 も 4 の倍数である。
したがって p^2 は 2 の倍数、つまり偶数である。
ここから、(1) と同じ考え方で、p も偶数であり、2 を約数に持つ。

【すると p と q には 2 という公約数が存在し、互いに素という前提に反することになる。】

よって、最初の前提が間違いで、√2は有理数ではない。

＝＝証明終わり＝＝

『ｐ、ｑは互いに素な整数』としている理由は【 】の部分でこの前提を使うためです。

よろしいでしょうか？

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。ひとつ気になったのですが例えば√１１＝ｑ/ｐとして同じことをしたときにはｑは１１の倍数になりますが、このときｐは１１の倍数にならないような気がするのですが・・・？