互いに素である証明(背理法)の解き方

質問

数学Aの整数の性質について質問です。
ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、
証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。
背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね？
それなのになんでこの問題では、仮定と全然違うことを矛盾しているという感じになっているんでしょうか？

あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか？
教えてください。

回答No.5

ddtddtddt · ベストアンサー

以下、「ならば」を ⇒ ，否定「～でない」を ～ で表します。

　対偶はご存じと思います。A ⇒ B の対偶は、～B ⇒ ～A です。
　A ⇒ B が成り立つとき ～B ⇒ ～A が必ず成り立ち、～B ⇒ ～A が成り立つとき A ⇒ B が必ず成り立ちます。

　何を言いたいかというと、A ⇒ B を証明したいなら、～B ⇒ ～A を示したっていいんだ、って話です。どちらを証明するかは、証明しやすい方です。
　この状況を、少しもってまわって文章化したのが、背理法に過ぎないと思って、実用的には問題ありません。

［A ⇒ B］
　　a と b が互いに素 ⇒ a＋b と ab は互いに素（を証明せよ）

　問題解説にあるように、上記は証明しにくい。そこで対偶を証明しましょうと・・・。

［～B ⇒ ～A］
　　a＋b と ab が互いに素でない ⇒ a と b は互いに素でない（を示す）

　で、やってみると確かに対偶の方が簡単に示せる。後は、a と b が互いに素でない事は、a と b が互いに素である事に矛盾すると書くのか、「対偶を示したぞ。文句あるか！」と書くのかの違いです(^^;)。

　なので、
＞・・・問題文から引っ張ってこの条件に矛盾するというのがアリなのかというのが気になります。

は、もちろんOKです。これが本来。また、

＞解答に「aとbが互いに素であるという条件で…」のように書かないと減点とかにはならないのですかね？

は、#4さんが仰るように、ふつうは大丈夫です。先生もそこまで意地悪じゃないと思います(^^)。

回答No.4

maskoto

答案を要約すると

「a、bが互いに素のとき」
a+bとabは互いに素と仮定すると
a、bは互いに素ではないと言える
これは、a、bが互いに素であることに矛盾…

となりますね。
「」の部分がなくても、言いたいことは伝わりますし、
「」があるとかえって意味がわからなくなると言う読み手も多いと思われます

スマートな答案、減点されるようなツッコミドコロがない答案を作るなら、画像の模範解答のようなものが良いでしょうね

回答No.3

f272

> 背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね？

ちょっと違う。あることを仮定して矛盾を導くのであって、どこに矛盾があってもかまいません。この問題ではaとbが互いに素であるとき、a+bとabが互いに素ではないと仮定したら、aとbが互いに素でないことが分るので矛盾というわけです。

> あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか？

互いに素な自然数としてもかまいませんが、そのあとでkとlが互いに素であることを使いませんので、わざわざkとlは互いに素な自然数とする必要はありません。

回答No.2

kiha181-tubasa

＞証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。

質問者の誤解からくる疑問だと思います。

条件は「２つの自然数aとbが互いに素である」
証明すべきことは「a+bとabが互いに素である」
ですね。

ですから背理法では
「a+bとabが互いに素でない。つまりaとbは共通の素因数をもつ」
と仮定して，論を展開します。
そして，「aとbは共通の素因数を持つ」という結論を導きます。
この結論が条件「２つの自然数aとbが互いに素である」という条件に矛盾しています。
従って「a+bとabが互いに素でない。つまりaとbは共通の素因数をもつ」という仮定が間違っていたということから
「a+bとabが互いに素である」
という事を証明したのです。

回答No.1

maskoto

命題Aが成り立つことを示せ
と問われたとします
背理法とは、命題Aが成り立たないことを仮定して
その仮定に矛盾があることを導き
矛盾の原因を調べたら、それは仮定の誤り
つまり、Aが成り立たないと仮定したことにあった
という論法で、命題Aが成り立つことを示すものです

今回は、
示したいのが
aとbが互いに素→a+bとabは互いに素
ですから
この命題が成り立たないと仮定します
具体的には
a+bが互いに素であっても、a+bとabは互いに素にはならない
というように仮定するのです
そしたら、この仮定の矛盾を導きます
矛盾の原因を追求します
原因は、a+bとabは互いに素にはならない
と仮定したことにあったと断定できることになります
→仮定(命題は成り立たない)が誤りナノだから
命題は成り立つ、という方が正しいと言える
これが一連の流れです
(なお、命題及び集合などを良く勉強して、精通した段階でもう一度背理法のことを詳しく質問してみるのも良いかも→集合と命題の関係がわかると、背理法の意味も一段とよくわかります！)

次の疑問について
仮定では
a+bとabが共通な因数Pを持つとしてます
共通因数Pを持つなら
a+bはPの倍数になっていないといけないから
a+bはPである可能性もあるし
2Pである可能性もある
3P、4P…である可能性もあります
同様に、abもP、2P、3P…になります
そして、両者ともに同じPである可能性もあるし、同じ2P、同じ3P…である可能性もあるから、K、lはともに(互いの値に影響されない)自然数でなければならないのです
互いに素だと
例えば両者とも4Pであるケースなどが抜けで居ることなります

なお、
a+b＝m(q+q')+r+r'関連のお礼コメントをみましたが
既に締め切りとなっていて追加解答はできません。もし、気がすすめば新たなスレを立てて質問してくれれば
もう少し端的に文字式での解説ができると思います

お礼

回答ありがとうございます。 以前の質問に関しては、適当に流しておこうと思います。。証明する問題自体はでなさそうですし。。

Powered by GRATICA

補足

一応勉強はしたのですが、忘れてたので色々調べてみたのですが、背理法って、結論を否定して、その矛盾を導くんですね。
この命題での結論は、a+b,ab…だからこれを否定して、これが成り立つと仮定するのですね。
そもそも自分は「仮定して」っていう単語から、
仮定の否定を仮定すると思っていたので、、
違ったのですね。。
この問題では、解答に、aとbが互いに素であるという条件で…などのような文を書いていないので、問題文から、aとbが互いに素であるという条件を否定しているので、、、
このように、問題文から引っ張ってこの条件に矛盾するというのがアリなのかというのが気になります。
解答に「aとbが互いに素であるという条件で…」のように書かないと減点とかにはならないのですかね？