背理法の用い方

質問

背理法の用い方について質問があります。

たとえば、教科書に載っている問題で考えると、a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗ならば、a,b,c,の少なくとも１つは偶数であることを背理法で証明せよ。とあります。

しかし、これの解答をみると、
a,b,cすべてを奇数と仮定すると、a二乗,b二乗,c二乗はすべて奇数になるので、左辺と右辺で矛盾するとあります。

ですが、これって仮定した結論を先にもちいてませんか？

たとえば、普通の証明なら、AならばBとあったら、Aにある事柄だけをもちいてBを証明すると思うのですが、背理法の場合は、結論をもちいて矛盾を証明してもよいのでしょうか？

わかりにくい文章ですみませんが、ご返答お願いします。

回答No.6

felicior · ベストアンサー

(ア)「Ａ　ならば　Ｂ」

という命題を背理法で証明するというのがどういうことかと言うと、この代わりに

(イ)「Ａかつ（Ｂでない）　ならば　矛盾」

という命題を証明できれば(ア)を証明したことになる、という意味です。
（これが成り立つ理屈は今までの方々が詳しく書かれているので省略します。）
直接(ア)を証明するわけではないので“間接証明法”の一種です。

これを問題の文章に当てはめると…

(ア)「a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗　ならば　a,b,c,の少なくとも１つは偶数である」

(イ)「a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗かつa,b,cが全て奇数　ならば　矛盾」

となります。“ならば”の前に書かれている条件を“仮定”（または“前提”）、
後に書かれている条件を“結論”と呼ぶのはご存じだと思いますが、(ア)と(イ)を
見比べてみると(イ)の方に仮定がひとつ増えています。質問者様が書かれた
　　「a,b,cすべてを奇数と仮定すると」
という文言は、仮定をひとつ増やして(イ)という全く新しい命題を作りますよ、という
合図なのです。(ア)を直接証明することはもうあきらめてしまったわけですから、結論を
使って証明していることにはなりません。(ア)のことは忘れて(イ)で考えているのです。
ですから、回答としては…

>> たとえば、普通の証明なら、AならばBとあったら、Aにある事柄だけを
>> もちいてBを証明すると思うのですが、

これはそのとおりです。

>> 背理法の場合は、結論をもちいて矛盾を証明してもよいのでしょうか？

ダメです。ただし、証明すべき命題が変わります。

…ということです。ちなみに対偶証明というのもご存じだと思いますが、これも同様に

(ウ)「Ｂでない　ならば　Ａでない」

という全く新しい命題を証明する“間接証明”の一種です。

お礼

すばやいご返答ありがとうございました。
テストが一昨日まであったので、今はじめて見たのですが、やっと理解できました。

要するに、
背理法では、今ある元の命題の「結論部分の否定」を、新たに仮定として命題をつくってしまう！！というものなのですね。
「全く新しい命題」というのを見てズバッと来ました。
本当にすっきりしました。ありがとうございました。

回答No.7

Caper

● 以下の記述において、「 ならば 」を → で、「 かつ 」を ∧ で、「 または 」を ∨ で、「 否定 」を ￢ で、「 同値 」を ≡ でそれぞれ表わすことにします。

● xboxyarou さん が抱えます疑問とは、こういうことですよね。

1) A → B
2) (A∧￢B) → (矛盾)

　 1) の出発点は A という命題だけです。2) の出発点には A 以外に ∧￢B が付け加えられています。∧￢B を付け加えることで、まともな証明が得られるのでしょうか。

● 表現のしかたが悪いかもしれませんが、命題 A に ∧ が付け加えられると、命題 A の幅は狭くなるか変わらないかのどちらかであると、私は思います。ですから、合成命題 A∧￢B の幅は、命題 A の幅よりも狭いか 命題 A の幅と同じであるかのどちらかであると、私は思います。

　 幅を広くするか変えないかのどちらかにしたいということであれば、∨ を付け加えればよいと、私は思います。

　 ところで、命題 A は次の合成命題と同値であると、私は思います。

　 A∧(B∨￢B)

　 つまり、A ≡ A∧(B∨￢B) ということです。
　 さらに、A∧(B∨￢B) は次の合成命題と同値であると、私は思います。

　 (A∧B)∨(A∧￢B)

　 つまり、A ≡ (A∧B)∨(A∧￢B) ということです。

　 ですから、1) は 次の 1)' に書きかえることができると、私は思います。1)' と 2) を見くらべてみましょう。

1)' ((A∧B)∨(A∧￢B)) → B
2)　(A∧￢B) → (矛盾)

　 このように書きかえることで、1) ≡ 1)' の出発点の幅は、2) の出発点の幅よりも広いか 2) の出発点の幅と同じであるかのどちらかであることが鮮明になったと、私は思います。そして、1)' の証明は、次の 2つ の証明を行なえばよいのではないかと、私は思います。

3) (A∧B) → B
4) (A∧￢B) → B

　 ところが、3) は A であって B ならば B であるという意味です。これはあたりまえのことですから、証明は不要であると、私は思います。そして、4) は 2) の一種であると、私は思います。

● 以上の考察から、1) の証明が行なわれている陰において、2) の証明がおのずと行なわれているのではないかというのが、私の結論です。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

お礼

ご返答ありがとうございます。

すみません。途中までは理解できたのですが・・・
今回はテストが終わってしまったので、次回までに理解して活かそうと思います！！
また質問することがあると思いますので、そのときもお願いします。

回答No.5

noname#108210

背理法とは，
「ｐならばｑである」を否定して，矛盾を導く方法です。
「ｐならばｑである」の否定は，「ｐであってｑでない」ですから，

「a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗ならば、a,b,c,の少なくとも１つは偶数である」の否定は，

「a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗であって、a,b,cすべてが奇数である」
になります。ですから，それでいいのです。

お礼

すばやいご返答をありがとうございました。

やっぱりわかりにくい質問文だったみたいです。
否定部分は理解できていたのですが、その否定した部分を先に用いて背理法による証明を開始していいのかがわからなかったのです。
ですが、これも勘違いと分かりました。

一昨日テストも終わりました。テストが終わる前に勘違いに気づくことができなかったのが少し残念でしたが・・・
今回はありがとうございました。

回答No.4

Rice-Etude

「結論をもちいて」というのがどういう意味か分からないところがあるのですが、背理法の証明方法は

１．ある世界Ｇがある
２．このＧという世界はαという世界とβという世界に分けることができる（すなわち、この二つからＧすべてを表すことができるが、αとβに共通部分がない）。
３．世界Ｇの中で成立するある条件を示したときβという世界で説明しようとすると矛盾がでる
４．この条件はαの世界だけで通用する条件である「はず」

という方法です。言い換えると「αかβのどちらかで必ず成立する条件なのだが、βの世界では成立させることができないのであれば、これはαの世界で成立する条件でしかない」という論法になります。

また、背理法での仮定は勝手に作れるのではなく、必ずある世界の反対の世界（『AならばB』のAに対し、作れる仮定は￢A）となります。なので、間接的に「Aにある事柄だけをもちいてBを証明する」形になっているとも言えます。

お礼

すばやいご返答をありがとうございました。

背理法そのものを勘違いしていたみたいです。
あと、ほかに背理法は証明になるのか？という疑問もあったのですが、わかりやすくて疑問も解消しました。ありがとうございました。

回答No.3

R_Earl

> ですが、これって仮定した結論を先にもちいてませんか？

質問者さんの言う「仮定した結論」とは何を指すのでしょうか？
「a,b,c,の少なくとも１つは偶数である」という部分でしょうか？

証明で使っているのは「a,b,cすべてを奇数と仮定する」ということです。
「a,b,c,の少なくとも１つは偶数である」ということは使っていません。
なので「結論を用いて矛盾を証明している」とは言えません。

> たとえば、普通の証明なら、AならばBとあったら、Aにある事柄だけをもちいてBを証明すると思うのですが、背理法の場合は、結論をもちいて矛盾を証明してもよいのでしょうか？

背理法で使うのはB(結論)ではなく、「Bの否定(結論の否定)」です。
結論そのものを使っているわけではありません。

お礼

すばやいご返答ありがとうございます。

僕が言った「仮定した結論」というのは、「背理法で新たに仮定した部分の結論部分」（皆さんはこの結論部分は「矛盾」とおっしゃっていますが、2日の時にはまだそのことが分からなかったので。）＝「Bの否定」を先に用いてしまってよいのかが分からず、今まで悩んでいました。

ですが、結論を否定したものを新たに仮定にして矛盾することを証明することだと分かっていまはすっきりしました。
ありがとうございました。（ややこしい質問文ですみませんでした；）

回答No.2

Willyt

解答がかなり省略されているので分りづらいのでしょうが、それでいいのです。奇数の二乗は奇数ですよね。すると左辺は奇数と奇数の和だから偶数になります。右辺は当然奇数ですから等号が成り立ちません。だから最初の仮定が真ではないというわけです。

お礼

素早いご返答有り難うございました。

どうやら、勘違いをしていたみたいです。
背理法というのは、今ある結論をいじって、それが成り立たないと普通に証明するものだと思っていたのですが、やっと分かりました。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#101087

その証明手順に使われている前提は、
　奇数の二乗 = 奇数
という命題と、
　奇数 + 奇数 = 偶数
という命題だけ、みたいです。

仮定した結論を先にもちいているわけではありません。

お礼

素早いご返答有り難うございます。
テストが続いてしまったため、今まで確認できませんでした。（テスト前日に質問したので。）

「仮定」という言葉をわかりにくく使ってしまったみたいで、誤解を招いてしまいました。すみません。；

仮定した結論・・・というのは、・・・背理法で新しく仮定した部分・・・を指していたです。

テストも無事に終わりました。結果はまだ出ていないですが。
素早いご返答有り難うございました。