背理法について

質問

次の命題を考えます

n^2が偶数⇒nは偶数

「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、
矛盾を導く。
今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる。(２k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。
よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。

よって命題はただしい。（方針はこれでお願いします）」

ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。

2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？）

これはどこがいけないのでしょうか。

一般のnが証明できたからn＝２の時も成り立つのではないのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.16

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>(1)の命題はtknakammuraさんが言っている
>「 p が偽なら p⇒q は真のこと？」のpに相当すると
>わたしは考えています。

p→qが真になると生じる不都合はなんでしょう?

証明では、qは n^2は偶数。

で

p→qとp→否定qが同時に導かれます。つまり仮定が真なら
n^2は偶数であると「同時に」奇数でなければならない。
つまりpは常に偽でなけれぱならない。

ということです。pが常に偽なら、p→qもp→否定qも真
ですが、前提条件pが恒偽なので何も意味しません。

お礼

混乱してきたので、また質問内容をまとめて改めて質問したいと思います。

とりあえず一番最初の疑問は解決しました。またお願いします。

ありがとうございました。

回答No.15

Tacosan

念の為確認しておきたいんだが, あなたのいう
矛盾
ってなに?

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

>偽をかていすればどんな命題も真理表から真になるのでは？

おっしゃっていることが意味不明ですが
ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと？

で、それと今回の質問とどうつながるのですか？

一応証明をまとめておくと

・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します。

・n が奇数なら n = 2k + 1 (kは正数) ですから

　n^2 = 4k^2 + 4k + 1 は奇数で仮定と矛盾します。

以上から

・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在する　

は偽です。

従ってその否定の

・どんなn に対しても n^2 が偶数 ならば n が偶数

は真です。 まあこの場合、対偶証明で十分ですけどね。

補足

＞ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと？

はい、まさにそうです

＞それと今回の質問とどうつながるのですか？

tknakamuraさんがまとめた証明の一行目の

「n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します」

のことです。この命題を(1)の命題とする。
なぜなら本来n^2が偶数⇒nは偶数は真なのでこれの否定の命題（(1)の命題）は偽ですよね？偽の命題を真と仮定したが本当は偽。
それでこの偽の命題の下何かを導いているのだからどんな命題も真になっていしまうのではないかと思っています。

(1)の命題はtknakammuraさんが言っている「 p が偽なら p⇒q は真のこと？」のpに相当するとわたしは考えています。

度々すみませんが、どうかよろしくお願いします。

回答No.13

中村 拓男（@tknakamuri）

>おかしな事が起きているのは何故かということです。

2を奇数だといい張っていることです。

nが奇数だと仮定することは、n が 1, 3, 5 などの値をとるということです。
２を奇数だと言い張ることではありません。

回答No.12

asuncion

かつ
とか
または
とか
を意識しなくても
背理法による
証明はできるからです。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

ちなみに、正確な否定は

n^2が偶数∧nは奇数が真 となるnが一個以上存在する。

です。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

背理法とは命題Aを証明したいとき
命題Aの否定を仮定して矛盾を導くもので質問者様の
やり方はまっとうですよ。

また証明すべき命題が ｐ→ｑ という形にいつも
なるわけでもないです。

例 √2が無理数、であることを証明せよ

補足

偽をかていすればどんな命題も真理表から真になるのでは？
つまり、矛盾が導かれないのでは？

回答No.9

asuncion

＞pならばqの否定で出てきます

p⇒qの真理値が￢p ∨ qに等しいことを使って、
否定がp ∧ ￢qである、と考えられているのですね。

背理法の基本は、
p⇒q
を証明する際、結論であるqを否定して
話を進めていったときに
前提として正しいとされているpと
矛盾が生じるから
p⇒q
が真であるといえる、というものです。
真理値表は関係ないです。

補足

関係ないという根拠はなんでしょうか
偽の命題を仮定したので、あらゆる命題がこの仮定のもとでは真になると思いますが。

よろしくお願いします

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

nに奇数を選ぶと矛盾するという論理で
n= 2 は変。そもそも

n^2は偶数→nは偶数

の証明とは任意のnで命題が真になることを示すこと。
個々の例の真偽は個別判定すればよいです。。

2^2は偶数、2は偶数。ここに2は奇数などという
奇妙な論理が入り込むことはありません。

補足

確かにそれも一理ありますが、一般のnでの証明のnに2を代入しても成り立つはずですよね？
でも実際代入してみると、私が質問したように
おかしな事が起きているのは何故かということです。

回答No.7

asuncion

もともとの命題に
かつ
という概念が登場していないのに
否定したとたんに登場するのが
さっぱりわかりません。

補足

pならばqの否定で出てきます

回答No.6

Tacosan

「背理法」が何かというのは「証明」そのものの根幹にかかわるので微妙だったりします＞#4.

ちなみに
2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？）
自体は... えっと, 「２が奇数なので２^2＝４より偶数」が意味不明かな.
・「なので」がどこから出てくるのか不明
・「何が」偶数だといっているのかが分からない
というあたり. 最初と最後だけをつなげば, より正確には
「２^2が偶数」∧「２は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒２は偶数は偽」が導ける
という点においてどこも間違ったところはありません.

補足

＞「２^2が偶数」∧「２は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒２は偶数は偽」が導ける

確かに導けますが、背理法は命題の仮定から矛盾を導かなければならないのに、これじゃあおかしくないでしょうか。

あともう一つなんですが、前回の質問で、偽の仮定をしたら、どんな命題も証明できてしまうとおっしゃっていましたが、確かに真理表を見ればp⇒qの命題はpが偽であればqは何であれ命題はしんになります。

ならば背理法という証明方法自体、偽の命題を仮定している時点で絶対矛盾が生じることはないのではないでしょうか

何回もすみません・・・

どうかよろしくお願いします