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背理法について
「a^2+b^2=c^3ならば、a、b、cのうち少なくとも1つは偶数である」 (pならばq) という命題を証明するために背理法を使います。 すると 「a^2+b^2=c^3という条件のもとで a、b、cはすべて奇数である」(pかつ￢q)と仮定することになると思います。 この仮定に矛盾が生じれば背理法が成立しますが この仮定に矛盾が生じるのは 「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (￢qならば￢p)が証明されたときだけなのでしょうか？ まだ論理について勉強しはじめたばかりで記号があまり理解できないので 記号は使わずに説明していただけると助かります。
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質問の内容が少しわかり難いけど、つまりはそういうこと。 背理法はある意味、命題の対偶を証明する(直接的には)ことになるから、結果対偶と同値の命題であるもとの命題も証明されたことになるって感じかな。
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- k14i12d
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a^2+b^2≠c^3⇒a,b,cが全て奇数 が証明できたとしても、背理法が成立したことにはなりません。 背理法による操作としては、 a,b,cが全て奇数であると仮定して、a^2+b^2=c^3という式にあてはめてみると、どのようなa,b,cを持ってきてもなりたたない、 つまり、a^2+b^2≠c^3がわかるわけで、 a^2+b^2≠c^3であるとして、a,b,cが全て奇数であることを導いたわけではないんです。
- MagicianKuma
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>「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (￢qならば￢p)が証明されたときだけなのでしょうか？ いいえ、そうとも限りません。p∧￢qの仮定から矛盾が導き出せればすべてＯＫです。例えば今回の場合、p∧￢qは(a^2+b^2=c^3)∧(aは奇数)∧(bは奇数)∧(cは奇数)ですね。 なので、(a^2+b^2=c^3)かつ(cは奇数) ならば (aは偶数)または(bは偶数) が証明されても矛盾ですね。(a^2+b^2=c^3)かつ(aは奇数)かつ(bは奇数) ならば (cは偶数) が証明されても矛盾ですね。 >a^2+b^2=c^3 ではない ならば a,b,cが全て奇数」 (￢pならば￢q) が証明されたとしても矛盾が生じたことになって背理法は成立しますが p∧￢qの仮定と￢pならば￢qの成立は矛盾ではありません。よって背理法は成立しません。 矛盾とは仮定からある命題Xと￢Xの両方が導き出されることです。このときXはどんな命題でもよろしい。 蛇足１：問題に議論領域が明示されていません。奇数という言葉からa,b,cは整数と想像はできるけれど。 蛇足２：対偶で証明できるのなら無理して背理法を使う必要はありませんね。
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補足
回答ありがとうございます。 私もそのように考えていて 今「対偶法と背理法の関係」について調べているところなのです。 そこで 例えば 「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (￢qならば￢p)は対偶ですが a^2+b^2=c^3 ではない ならば a,b,cが全て奇数」 (￢pならば￢q) が証明されたとしても矛盾が生じたことになって背理法は成立しますが これは命題の対偶を証明することにはならないですよね。 背理法の成立する数多くある条件の中で対偶を証明することになると考えられるものがあると考えておけばいいんでしょうか？