背理法について

質問

今、学校の数学で背理法というのをやっているのですが、はっきり言って高校でやったきた問題の中で一番難しいというほど困っています。一応説明では「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。したがって、その命題が成り立たなければならない」という説明なのですがだいたい言っている意味はわかります。でも、実際に使って問題を解いてみると全くと言っていいほどできません(汗　仮定したあとに文字が出てきてそれを2乗したりなどなど…　背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが実際に使ってみると全然できなくて…途中の文字を用いて証明するところなど「どうしてこうなるの？」みたいなところばかりで全然前に進みません。
例えば、「自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすならばa,b,cのなかに必ず偶数があることを背理法を用いて説明せよ」とい問題なのですが、解答を見ると、a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cがすべて奇数であると仮定すると、とあります。
どうもこのあたりの否定の置き方というのがよくわからないのです。必ず偶数がある、というのがすべて奇数であるになるのがさっぱりです。この辺りは国語的なものかもしれないのですが、このあたりでかなり苦戦しています。どなたか背理法を説明していただける方などおられましたらご回答お願いできないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.5

akireta

『否定の作り方』自体については、他の回答者の方々のご説明で完璧だと思います。でも、まだ締め切られていないので、少し別の面から回答させてもらいます。

>背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが
>問題を解いてみると全くと言っていいほどできません

　これは、背理法に対するあなたの理解度の問題ではないのではないでしょうか。
　あなたは、背理法自体は理解されているのです。

　私も背理法を習った時、『変だ』と感じました。そもそも、命題（Ｐ⇒Ｑ）を証明するのに（ＱでないのにＰなのは矛盾）つまり、（ＱでないのにＰなのはありえない）を示すのである。これは、実に卑怯な方法です。

　中学では、あまり『全体集合』に対して、神経質になっていません。背理法を通して、全体集合ってやつが、いかにズルくて、いかに便利かを思い知らされるのです。背理法の問題では、よく、命題（（ＡかつＰ）⇒Ｑ）として、Ａで全体集合が限定されています。しかし、中学までの癖で、命題（Ｐ⇒Ｑ）を考えてしまうのです。そうすると、（ＱでないのにＰなのは、結構あります）、これが背理法の卑怯なところです。実は、（Ｑでないのに（ＡかつＰ）なのはありえない）ようにするために、全体集合の制約Ａを付けているのです。つまり、その全体集合の要素に対して当然なりたつ公理や定理で縛っているのです。

　たとえば、（自然数は、偶数と奇数しかない）であったり、（実数の二乗は、０以上しかない）であったり、（或る一点を通る平行線は、唯一本しかない）だったりです。多くの問題では、これらの公理で縛らなければ、矛盾とは言えなくなってしまうのです。そこには、より大きな全体集合や理論が考え出されるヒントがあるのです。有理数であったり、複素数であったり、非ユークリッド幾何であったりです。

　つまり、大きな世界では、矛盾でもなんでもないことを、『矛盾だ、ありえないそ゜』というため、そのためだけに、小さな世界に限定して、命題を作っているのです。あるいは、大きな世界の全貌が良く分らないから、とりあえず、小さな世界に限定して、『命題は成り立つ』というのである。実に卑怯で姑息な手段です。でも、よく分らない、難しい問題に取り組む時、問題を切り分けて解いていく、あるいは、問題の本質を抽出するときには、有り難い方法です。

　上で言った公理や定理こそは、小さな世界しか知らない人にとっては、大きな世界への壁となる『先入観』であり、大きな世界の人からは、煩わしくもあり、便利でもある、『問題の本質』なのです。

　逆に、試験問題としての背理法の問題は、『全体集合は何か』を通して、『着眼すべき公理・定理は何か』を考えると、かえって、解答へのヒントになるのではないでしょうか。つまり、生徒にとっては、背理法の問題は、問題文に書かれている命題の『否定の作り方』を通して、問題文に書かれていない『着眼すべき公理・定理は何か』を問われているのです。それなのに、問題集などの解答例では、「そんな公理・定理は常識でしょう」とばかりに、ろくに解説していないのです。やっぱり卑怯だ。解答例や解説を見ても、何か違う、何か誤魔化されたような気がする、と思っている貴方、貴方は正しい。私も同感です。
　当時、私も先生に聞きました。そして、『君は否定文を知らないのかい』と嘲笑されました。やっぱり、背理法は姑息だ。でも、便利だ。（ 歳のせいか、少し興奮しすぎて、乱暴な表現が点在してしまった。ご寛容乞う(^^; ）

回答No.4

kony0

余談ですが・・・英語では
not all ～・・・すべての～が・・・というわけではない（部分否定）←notはallを否定している
neither A nor B・・・A,Bの両方とも・・・ではない（全部否定）←either A or Bの否定は全部を否定
てな感じで、英語の体系では、ある事柄の否定は、今回背理法で考えるような否定のやり方にマッチしてます。

ベン図とかで、
「ＡまたはＢ」の否定＝「Ａの否定」かつ「Ｂの否定」
「ＡかつＢ」の否定＝「Ａの否定」または「Ｂの否定」
となるのも視覚的に掴み易いです。

これをもとに、#2さんの「否定の事例」をもう１度よくお読みください。

回答No.3

fushigichan

wsf_7512さん、こんにちは。
背理法で悩んでおられるんですね。

＞「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。したがって、その命題が成り立たなければならない」という説明なのですがだいたい言っている意味はわかります。でも、実際に使って問題を解いてみると全くと言っていいほどできません(汗　

背理法のしくみは、「証明したいことがら」を
最初から、否定しちゃうんですね。
それで、いろいろ考えていくうちに、おかしな点を導き出します。
それは、そもそも、最初に「成り立たない」と仮定したこと自体が間違っていたのだ、
だから、成り立つのだ、というような証明法なんです。

＞「自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすならばa,b,cのなかに必ず偶数があることを背理法を用いて説明せよ」とい問題なのですが、解答を見ると、a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cがすべて奇数であると仮定すると、とあります。
どうもこのあたりの否定の置き方というのがよくわからないのです。

「a,b,cの中に必ず偶数がある」というのが証明したいことがらです。
これを、否定しちゃうと、
「aもbもcもどれも偶数ではない」＝「３つとも奇数である」
ということになります。

これは、分かりにくければ、次のように考えてみましょう。
今、疑わしい容疑者が３人います。
「a,b,c,の中で必ず犯人がいる」ということを言いたいとき
この否定は
「aもbもcも、だれも犯人ではない」ということですよね？

＞この辺りは国語的なものかもしれないのですが、このあたりでかなり苦戦しています。

多分、この国語的要素のところで、苦戦されているんだと思います。
背理法は、いわば屁理屈です。
「成り立たないと仮定」して、「矛盾」を導き出し
それは、そもそも「仮定がおかしかった」ということから
「成り立つ」を証明するので、かなり理屈っぽいですね。

「aは偶数である」の否定は、「aは偶数ではない」＝「aは奇数である」
ですね。
「bは３の倍数である」の否定は
「bは３の倍数ではない」＝「bは３で割ると、１余るか、２余る」
となります。
「x,yの中で必ず３の倍数がある」ということは
「xまたはyは、３の倍数である」ということですから
これの否定は
「xもyも３の倍数ではない」となります。
（これは、先程の犯人の例にあてはめて考えてみるといいと思います）

「xもyも有理数である」の否定は
「xまたはyは有理数ではない」＝「xかyのどちらかは無理数」
のようになります。

このあたりを中心に、じっくりと否定がどうなるか、
考えてみたら、少し分かりやすくなるのではないかな、と思います。
頑張ってくださいね！！

回答No.2

liar_adan

背理法は、「仲の悪い友達」です。

「この式が成り立っていると、a,b,cの中にかならずひとつは偶数があるよな」
「そうかぁ？　ひとつも偶数がなくてもいいんじゃないか？」
「そんなこというなら、ひとつも偶数がない状態でどうなるか考えてみろよ」
「よーし。ひとつも偶数がないとするぞ。
a,b,cは自然数だから、偶数でなければ奇数だ。つまり全部が奇数って事だな…」

というふうに仲違いをしながら証明をしていきます。

で、背理法でよく使われる「否定」は、
(出てくる数が自然数か整数かの条件で)
偶数の否定は、奇数
奇数の否定は、偶数
「ぜんぶ奇数」の否定は、「偶数が少なくともひとつは存在する」
「奇数が少なくともひとつは存在する」の否定は、「ぜんぶ偶数」
「x、yが両方奇数」の否定は、「xかyのどちらかが偶数」
「xかyのどちらかが奇数」の否定は、「x、yが両方偶数」

(特に条件がなくて)
「正の数」の否定は、「0か負の数」
「0」の否定は「正の数か負の数」

このへんのパターンが多いです。

回答No.1

yuusukekyouju

背理法については、以前下記に質問があったので参考にしてください。
＞必ず偶数がある、というのがすべて奇数であるになるのがさっぱりです。
偶数があるの否定は偶数がないですよね。
偶数がないということは奇数ばかり、つまり全てが奇数ということです。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=605472