背理法

質問

たとえば
「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」
という問題があったとして
背理法ではx=√2を満たす整数が奇数であると仮定して、成り立たない示しますよね?
すると証明できてしまいますが、もちろんxは整数ではありません。

参考書などの解答例を見ますと、こういう危険性を考慮してないような気がしてなりません。

30年近い疑問です。

回答No.15

22pn52doc

背理法についてあれこれ調べていたら、この質問にたどり着きました。
まさにこの領域を勉強している者として、考えを述べさせてください。
※数学は高校までしかやってません。
　記述に間違いがあればご指摘いただけると大変助かります。
※文章が下手くそなので、冗長になってしいまったかもしれません。
　ご容赦くださいm(_ _)m

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「現代数学小辞典」（講談社 2012年2月1日 第40刷発行） に、次の記述があります。
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（P17のL13から）
次に含意記号→（⇒と同じ）を含む命題を考えよう。
　ｐ：「キティは黒い仔猫である」
　ｑ：「４の２倍は９である」
　p → q：「キティが黒い仔猫ならば、４の２倍は９である」
　一般に、「…ならば」という言い方は因果関係を示すときに用いられるので、読者はこのような陳述を奇異に感じるかも知れない。
　実は数学では p → q という命題は p が真で q が偽であるときのみ偽となる命題とわりきって考える。言い換えれば p が偽であるか、または q が真の時には真となる命題で、結局￢p∨qという命題と同じことを言っているのである。p → q は「pならばqである」と読むが、日常的な意識と違って p と q との間に特に因果関係を考慮しない。
-------

この記述を、記号的に解釈すれば、

-------
（数学上の論理においては）
「命題A: p → q」の真偽は次の通り評価する。
(1)「p∧￢q」の場合のみ、命題Aは偽である。
(2)「p∧q」、「￢p∧q」、「￢p∧￢q」のいずれかのとき、命題Aは真である。
-------
ここで注目すべきは、(2)の後ろ２つ（「￢p∧q」と「￢p∧￢q」）で、
この２つは、命題の前提(p)が崩れれば、命題の結論(q)の真偽は命題の真偽に影響しない、という主張ではないでしょうか？
つまり、論理の構造上、p や q にどんな事象が入れこまれても、「p → q」で表される命題は評価が可能である、と。
であれば、p や q どんな内容であっても、問題としては成立するのではないでしょうか？

あらためて質問者様の例題を捉えてみれば、

問題：「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」
は、
ｐ：「(xは)x=√2を満たす整数（である）」
ｑ：「(xは)偶数である」
として、「p → q を証明せよ」と見做すことができ、
先の「記号的に解釈すれば」に
「p∧q」であることを、数学の領域において理論として定義されている論理の構造に従って示してください、ということなのではないでしょうか？

実際、この問題に背理法で挑めば、「p∧￢q」が成り立たないという結論に辿り着き、
「p∧￢q」が成り立つ場合のみ命題Aは偽であるのだから、
これが成り立たない命題Aは「p∧q」、「￢p∧q」、「￢p∧￢q」のいずれかであり、
ゆえに命題Aは真である、と示せます。
また、どなたかが仰っていましたが、
上の解釈(1)に従えば、「￢p」を示せば、それだけで命題Aは真だ、という方法も正しいと思います。

このように、「p → q」というスタイルの命題は、p や q の内容を問わず、
数学上の論理の構造を用いて正しく真偽を判定できるのですから、
問題として成り立つと思います。

そして、ここからが質問者様の質問の核心だと思われますが、

この手の問題の対応方法については、
たいてい高校数学の数学A「論理と集合」で扱われ、
殆どの学生はここで初めて論理学の記号や理論等を学ぶと思います。
この単元の目的は、
・「論理」とはどういうものか？
・数学という学問上定義されている論理の構造はどのようなものか？
・数学の論理の構造上成り立つ「命題の評価方法」にはどのようなものがあるか？
であり、そしてさまざまな問題を通して、
・数学という学問上の定義を用いて（相互に矛盾なく）表現されたいかなる事象も、同じく数学上の論理の構造を用いてそれをとらえれば、自己矛盾を排除してそれらを取り扱うことができる。
という事を学習すること、だと思います（そう思って学習しております^^）。

「参考書などの解答例を見ますと…」とありますが、
例題が例えば、「論理と集合」の単元にて紹介されているのであれば、
先に挙げた「記号的に解釈」のように命題の真偽を評価する方法がある、
そしてその効果的な方法として「背理法」がある、ということを実感するための
問題として、その存在は許されると思います。

ただ、

これを背理法を用いてただ証明して見せただけでは、
先に引用した「現代数学小辞典」の内容を理解することは難しいと思います。
せめて、
・「背理法」という手法は、上記(1)を判定することで命題を評価するための方法論で、
・命題の前提部分の矛盾から同(2)を用いて命題を評価する方法もある
などといった解説をすることが、その単元の目的を担う側の姿勢としてあるべき姿だと思いますし、

学ぶ立場としても、そういう解説をしてほしいです。

回答No.14

noname#221368

またまた返答が遅れました。

　＃9の補足へ。　

＞＞前件が偽なＡ⇒Ｂは、常に成り立つという事で良いでしょうか？。
＞はい。ですが、参考書等を見ると、前件が真か偽かの吟味がなされていないように思います。

　x＝√2の例で言うと、「それは当然」という態度で、模範回答は書かれているのではないでしょうか？。

＞前件が偽の場合に（背理法が）成り立たないことは数年前に知りました。

　上記で（）は自分が挿入しました。逆なんです。前件が偽の場合に、どんな結論でも導けてしまうところが、「「背理法の証明手続き」の「証明」」の本質です。わかりにくいですが、これが論理的な理論が無意味でない根拠になっています。

　＃12の補足へ。　

＞けっきょくのところ、初学者は
＞作問者の良心を信じるほかは無いということでしょうか?

　悲しいけれど、そうだと思います。これは「先生に師事する」という態度と同じだと思います。だからこそ作問者の責任は限りなく大きく、あなたが例に挙げたような問題は、出題して欲しくないと、自分は思います。

＞問題の筆致から、背理法を使うことを予想し
＞徐々に慣れてくると、無理数の問題などは
＞背理法を使えば良さそうだということになると思いますが
＞これは受験テクニックであって、数学の考え方として正統なのでしょうか?

　正統だと思います。まさに徐々に慣れてくると、無理数の扱いは常に無限回の演算が絡むので、無限回の演算を全て見渡せない人間は、背理法に頼るのだと納得できます。

　これが（無限回演算の結果が）成り立たなかったら、矛盾するので、これは（無限回演算の結果が）成り立つとやる訳です。

回答No.13

Caper

● ANo.9 の [ 補足 ]欄 において、sak_sak さん は次の 1) のとおりに記述なさいました。ただし、( )内 の語句・単語などは、私が補ったものです。

1) また、( A ⇒ B における ) 前件 (A) が偽の場合には背理法は使えないことの説明が高校ではなされていないように思います。

● 上記の 1) における補いかたに、問題はないでしょうか。補いかたについては、問題がないとして、先へ進ませてください。

　 上記の 1) では、「 背理法は使えない 」とされていますが、私は「 背理法は使えなくもない 」「 背理法は使える 」と認識しています。

　 しっかりした数学書に「 ( A ⇒ B における ) 前件 (A) が偽の場合には背理法は使えない 」という記載があれば、私のその認識は完全なまちがいであり、以下の私の記述は、単なるたわごとです。その場合は、しっかりした数学書のその記載を信じてください。そして、sak_sak さん におわびを申し上げます。どうもすみませんでした。

● A⇒B, すなわち「 A ならば B 」という命題が真であるということを背理法によって示そうとする場合、A∧(B の否定), すなわち「 A かつ (B の否定) 」が真であると仮定して、矛盾を示せばよいと、私は認識しています。

　 A が偽であることがいま判明したとします。このとき、A∧(B の否定) が真であるという仮定は成り立たず、矛盾が生じます。よって、背理法により、その判明結果から、A⇒B が真であるということになります。

回答No.12

noname#221368

#7です。返信が遅くなって申し訳ありません。いま#7に対する「補足」を読みました。

　結論から申し上げると、#8さんが指摘されたように、この解答に論理的な問題はない訳です。しかし#9に述べたように、その理由を理解する事は、アマチュアにとっては、かなり辛い気がします。

　#6で、あなたの設問を、「解なし問題を作問したようなものだ」とみなした発言そのものが、自分のアマチュア性を語っています。

　念のため最初に言いますが、自分は、#10さんや#11さんの発言が、高校生のレベルだと言うつもりは、毛頭ありません。しかし、真面目に考える高校生は（真面目に考えるからこそ）、#10さんや#11さんの記述のように「悩む」のではないでしょうか？。

　そういう訳で、このような問題はやはり、出題者の良心として、作問して欲しくありません。高校生は、混乱するだけのように思えます。

補足

ネットに繋がらない状況が長く続いたため返事が遅くなりました。

けっきょくのところ、初学者は
作問者の良心を信じるほかは無いということでしょうか?

初学者相手の問題でも「～を背理法で証明せよ」などという
問題はあまり見たことが無いように思います。
問題の筆致から、背理法を使うことを予想し
徐々に慣れてくると、無理数の問題などは
背理法を使えば良さそうだということになると思いますが
これは受験テクニックであって、数学の考え方として正統なのでしょうか?

回答No.11

Caper

● ごめんなさい。私の頭はかたく、柔軟性が欠けているようです。

● ANo.10 では、整数全体の集合を変域と考えるのがよいと、私は記述しました。ですが、変域として {√2} を選ぶこともできると、ANo.10 の投稿後に、私は気づきました。換言すれば、変域として、要素が √2 というたった 1つ だけの集合を選ぶこともできるということに、私は遅ればせながら気づきました。
　 私の不注意を、お許しください。ごめんなさい。

　 変域として {√2} を選んだというのであれば、「 もちろん x は整数ではありません 」という sak_sak さん のお気持ちを、私は理解することができます。失礼いたしました。
　 ただし、変域として {√2} を選ぶのであれば、命題の表記のしかたをそれらしく工夫する必要があると、私は思います。例えば、次の 7) もしくは 8) です。

7) x は整数であるということを満たす 集合{√2} の 要素x は偶数である。
8) 変数x の変域を {√2} であるとした上で、すべての x について ((x は整数である)→(x は偶数である))。

● ところが、要素が 1つ だけの集合を変域とする場合、変数x をわざわざ登場させる必要はないと、私は思います。この場合、次の 9) という表記でことたりると、私は思います ( ANo.10 における、上から 3番目 の ●項目 で採用した表記のしかたに従っています )。

9) (√2 は整数である)→(√2 は偶数である)

　 この 9) を背理法で証明する場合は、次の 10) という命題が真であると仮定して、矛盾を導くという手順を踏めばよいと、私は思います。

10) (√2 は整数である)∧(√2 は偶数でない)

● 以上の記述にも、まちがいが含まれる場合は、ひらにひらにごめんなさい。

回答No.10

Caper

● ご質問の文章を私が読んで思ったことを、まず正直に申し上げます。
　 sak_sak さん は、変数x の解釈をまちがえているのではないでしょうか … 。

　 変数とは、変域と呼ばれる集合に含まれる 1つ の要素のことです。ご質問の文章の中で取り上げられている証明問題においては、整数全体の集合を変域と考えるのがよいのではないかと、私は思います。整数全体の集合を変域と考えるとき、変数x が取りうる値は、もちろん整数ということになり、x が整数以外の値をとるということはないと、私は認識しています。

　 ですから、sak_sak さん の「 もちろん x は整数ではありません 」という記述に、私は違和感を覚えてしまいます。

● sak_sak さん は、ご質問の文章の中で、次の 1) を記述なさいました。

1) x = √2 を満たす整数は偶数である。

　 この 1) は、次の 2) に改めたほうがよいと、私は思います。x という 1文字 を付け加えただけです。

2) x = √2 を満たす 整数x は偶数である。

　 この 2) という命題は、次の 3) という厳密な表現をつづめたものであると、私は思います。なお、→ は「 ならば 」を意味する記号です。

3) 変数x の変域を整数全体の集合であるとした上で、すべての x について ((x = √2)→(x は偶数である))。

　 この 2) もしくは 3) という命題は真であると、私は思います。真であることについては、ANo.6 で alice_44 さん がすでにおっしゃっています ( ただし、変域のとりかたが異なります。それについては、のちほど )。

● ところで、ここで変域となる整数全体の集合を、{ … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } と表記してもさほど支障はないと思われますので、この表記を採用することにします。この表記の採用により、上記の 2) もしくは 3) は次の 4) のとおりに表記することができると思われます。なお、∧ は「 かつ 」を意味する記号です。

4) … ∧((- 3 = √2)→(- 3 は偶数である))∧((- 2 = √2)→(- 2 は偶数である))∧((- 1 = √2)→(- 1 は偶数である))∧((0 = √2)→(0 は偶数である))∧((1 = √2)→(1 は偶数である))∧((2 = √2)→(2 は偶数である))∧((3 = √2)→(3 は偶数である))∧ …

　 この 4) の中に含まれる … , (- 3 = √2), (- 2 = √2), (- 1 = √2), (0 = √2), (1 = √2), (2 = √2), (3 = √2), … はいずれも偽となる命題であることに注意してください。

● sak_sak さん は、ご質問の文章の中で、次のとおりに記述なさいました。

　 背理法では x = √2 を満たす整数が奇数であると仮定して、…

　 私はそうではないと思います。背理法による証明の場合、仮定する命題は次の 5) もしくは 6) であると、私は思います。

5) x = √2 であり x は奇数であるということを満たす 整数x が存在する。
6) 変数x の変域を整数全体の集合であるとした上で、ある x について ((x = √2)∧(x は奇数である))。

● 冒頭において、私は次のとおりに記述しました。「 整数全体の集合を変域と考えるのがよいのではないか 」

　 一方、ANo.6 において、alice_44 さん が提示なさいました考えかたでは、変数x の変域に際限を設けていません。つまり、変数x が何でもありになっています。高校の数学では、なじみがない考えかたかもしれません。ですが、正しい考えかたであると、私は思います。

● もっともらしく私は記述してまいりました。以上の私の記述にまちがいがある場合は、ひらにごめんなさい。

補足

回答ありがとうございます。

返事が遅くなり申し訳ありませんが
私が出した例題自体には大した意味はありません。
私の出した例題を高校生が参考書に従って解いたらどうなるかということです。
参考書の書き方に疑問を持っているので、それをわかりやすくするための問題です。
たとえば「◦◦が無理数であることを証明せよ」という問題において
参考書では実数であることを確認せずに
有理数であることを仮定し無理数であると証明したりとか
そういう解答が多いということを言いたいだけです。

>私はそうではないと思います。背理法による証明の場合、仮…
これもおっしゃる通りです。
しかし「ならば」以前を吟味する必要性を説く参考書を見たことがありませんし
「ならば」以前を吟味した答案を書いた参考書も見たことがありません。

回答No.9

noname#221368

#7です。あっ、・・・了解です・・・#8さんへ。

　　「x=√2 かつ xは整数」　⇒　「xは偶数」

とすれば、「x=√2 かつ xは整数」はもともと成立しないので、前件が偽なＡ⇒Ｂは、常に成り立つという事で良いでしょうか？。

　確かに、「これ」⇒「背理法」⇒「対偶」の順序で出てきます。また「x=√2 を満たす実数が整数ではない」ことは、件の命題とは全く無関係になります。

　　※　Ａは「x=√2 かつ xは整数」，Ｂは「xは偶数」

　でも・・・数学のアマチュアに、この発想はちょっと辛いなぁ～、という気がします。そこが質問者さんの「もちろんxは整数ではありません」の発言につながる気がします。という訳で、自分だったら、

　　「xは奇数」を仮定したところで、「xは√2 でないか、 xは整数でない」が導ける．
　　　（後件が真なら、どんな前提を取っても成立）

ので、背理法はやっぱり成り立つと言いたくなりますが、これもちょっと辛いなぁ～、という気がします。

　という訳で質問者さん。もう少し背景（この質問にいたった動機）を述べた方が、納得する応えが来ると思います。

補足

＞前件が偽なＡ⇒Ｂは、常に成り立つという事で良いでしょうか？。
はい。ですが、参考書等を見ると、前件が真か偽かの吟味がなされていないように思います。

また、前件が偽の場合には背理法は使えないことの説明が
高校ではなされていないように思います。
書いてあったら何十年も悩んでいないと思います。
前件が偽の場合に成り立たないことは数年前に知りました。
そのくらい、吟味がなされていないように思うのです。

回答No.8

alice_44

No.7 と No.6 は、A, B の切り出しかたが違うなあ。
No.6 のキモは、「x は整数」を ∀x のガードではなく
A (「ならば」の前件) に含めたことにある。

回答No.7

noname#221368

実際にこういう問題が、大学の入試問題とか、受験参考書に模範解答として掲載されたのかと思い、一瞬ぎょっとしましたが、そうではないのですよね？。「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」は、意図を明確にするための例題と受け取りました。

　少し命題理論の話をさせて下さい（ご存知かも知れませんが）。標準的な数学は、命題理論に全面的に依拠しているからです。

　ある関係Ａ⇒Ｂを証明したい時に、結論Ｂの否定～Ｂを仮定し、Ａの否定～Ａを導けたなら、～Ｂ⇒～Ａなので対偶をとり、Ａ⇒Ｂは成り立つ、というのが背理法の処方箋です。ここでＡは「x=√2を満たす数」、Ｂは「xは整数でかつ偶数」です。

　命題理論では、～ＡとＡが同時に成り立つ場合、どんな命題も証明可能になります。このような理論は、矛盾した理論と言われ、～ＢもＢも同時に成り立つ事になります。じつはこれが対偶関係式の証明手順であり、背理法の本質です。

　なので、Ｂの否定～Ｂが最初から矛盾したものであれば、Ａも当然成り立つ訳で、「x=√2を満たす整数は偶数である」は証明できます。～Ｂとして「xは整数かつ偶数でない」＝「xは奇数」とすれば、あなたの言う通りです。「xは奇数」は、最初から「偽」だからです。論理的手続きに問題はありません。この辺りが、#1～#5さんらの言いたかった事だと思います。

　ですがこれは、背理法のふつうの使い方ではありません。～Ｂとして「xは整数でないか、整数で奇数である」が、～Ｂの正しい与え方と思えます。この場合は、いくら頑張っても矛盾（～Ａ）は導けないと思います。そして、いくら頑張ったところで、それで～Ａが証明できたという事にはなりません。この辺りが、#6さんの趣旨だと思います。

＞参考書などの解答例を見ますと、こういう危険性を考慮してないような気がしてなりません。

　冒頭で申し上げたように、最初はぎょっとしました。もしそういう事があれば、ある意味「解なし問題」を出題したのと同じだと思います。「解なし問題」は、出題者の良心として、今でも出されていないと思います。そのような状況を鑑みて、参考書も書かれているのではないでしょうか？。

補足

回答ありがとうございます。
補足が遅くなり申し訳ありません。

私が気にしているのは
作問者の良心に期待した解答を最初から目指して良いのか?
ということです。
例えば連立方程式が出題されて、たまたま当てはめたら成り立つ数の組を見つけても得点はもらえませんよね?
中高生なりに外堀から埋めていくような解答を求めるのが数学だと思っています。
良心を信じて作った解答には網羅しきれてない部分があるわけで、そのような解答作成で良いのかと思うわけです。

回答No.6

alice_44

「x=√2 を満たす整数は偶数である」とは、
「任意の x について、(x=√2 かつ xは整数)ならば、xは偶数である」の略記です。
ちゃんと考えて読めば判りますが、これは真です。(「ならば」の定義を確認のこと)
だから、証明に背理法を使おうが使うまいが、証明できて何の問題もありません。
この命題と「x=√2 を満たす実数が整数ではない」ことは、全く無関係です。
参考書での背理法の使用方法よりも、
＞ 証明できてしまいますが、もちろん x は整数ではありません
という論理の飛躍に疑問を感じないことが、大問題です。