- ベストアンサー
【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その
【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その仮定の矛盾を指摘することで命題の真を証明する。 例------- 「 5円玉には穴が空いている。 5円玉には穴が空いていない。 けど手に持っている5円玉には穴が空いている。 よって5円玉は穴が空いている。 」 これって証明になりますか？ これは例え方が悪いから説得力がイマイチ感じられないだけ？ 例が下手くそすぎ？ どうやったら説得力が増すのか背理法の書き方のコツを教えてください。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 背理法と命題の否定について
背理法と命題の否定について 例えばp⇒qを背理法を用いて証明するとき、p⇒qの否定を仮定すると、すなわち、pであってqでないものが存在すると仮定すると矛盾が生じるから、(否定が偽ならもとの命題は真であるから、)p⇒qである。ということなんですよね？ では、「nが自然数のとき、n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数である」を背理法を用いて証明するとき、冒頭の文は、「nが自然数、n(n+2)が8の倍数であり、奇数であるnが存在すると仮定する。」というのでいいんですよね？ 普通参考書などではもっと簡潔に「nが奇数であると仮定する。」などと書いてあるのは、わざわざ長々と書かなくてもわかるからということなのでしょうか？ しかしこの書き方だと、「全てのnが奇数であると仮定する」と言っているようにも取れるように思うのですが… p⇒qの否定は決して「p⇒qの余事象」ではないですよね？ 自分の解釈に自信がもてなくて… 間違っているところがありましたら、ご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「真偽の決定不能」と「背理法」の関係は？
数学入門の本を読んでいて「ある数学体系のもとで与えられた命題には、その数学体系の範囲では真偽を決定できないものがある」という記述が目に留まりました。この話と教科書で習った背理法とは矛盾しないのでしょうか？ 「真と偽のどちらかである」と言えないなら、「偽と仮定して矛盾が生じた」としても「よって真」とは言えなくなります。あるいは、教科書で扱っているような問題は「真か偽のいずれであるか決定できる」ということが証明できるものであり、しかしその証明は省いて背理法の部分だけ記述してある、ということなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法について
次の命題を考えます n^2が偶数⇒nは偶数 「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、 矛盾を導く。 今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる。(２k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。 よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。 よって命題はただしい。（方針はこれでお願いします）」 ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。 2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？） これはどこがいけないのでしょうか。 一般のnが証明できたからn＝２の時も成り立つのではないのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対偶による証明法と背理法による証明について
数学Iの内容なのですが自分の使っている参考書に 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。 命題p⇒qが真であることをいうために￢qと仮定して￢pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも￢q⇒￢pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから 自動的に元の命題が真といってもいい と書いてあるのですが、色々な所で質問してみたのですが どうしてもあまり理解ができません。 (1)命題p⇒qが真であることをいうために￢qと仮定して￢pが導かれたとする 導かれた形は￢q⇒￢p 背理法の仮定の形では￢q⇒p (2)pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる この導かれた形が￢q⇒￢pで命題の対偶の形をしていて それによっても命題が真であることが示されているから 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る、と書かれているのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 背理法と対偶法について
少し長くなるのですがお願いします。 私の使用している参考書に 「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。 命題p→qが真であることをいうために￢q(qでない)と仮定して￢pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも￢qならば￢pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」 と書かれていて この部分の意味がわからなかったので出版社に問い合わせました。 すると、このような回答を頂きました。 -------------------------------------------------------------------- 背理法は、 「ｐという前提条件下で、結論のｑを否定して、￢ｑと仮定すると、矛盾が生じる。よって、ｐ⇒ｑ」とする論法ですね。対偶法において、この矛盾に相当するものが、 「￢ｐかつｐ」という矛盾です。なぜなら、￢ｑ⇒￢ｐを示すのが対偶法だからです。 つまり、対偶：￢ｑ⇒￢ｐが示されれば、この時点で「￢ｐかつｐ」という矛盾が生まれ、背理法が成立したことになります。 -------------------------------------------------------------------- 私は以前、この事に関する質問をここでして回答をいただいたのですが その時に頂いた回答をもとに考えたのがこの考え方です。 ---------------------------------------------------------------------- 「pならばq」を証明しようとしていて 「pならばq」に背理法を使って「pであって￢q」と仮定する。 その過程で「対偶 ￢qならば￢p」が証明できたとする。 「pであって￢q」と仮定しているのに対偶 ￢qならば￢p なので pではないため矛盾する。 よって「pならばq」は真である。 命題の対偶が証明された場合、普通は自動的に命題が真であると考えますが この説明文では 「命題の対偶が証明されたあと、背理法を使って命題が真であることを証明することになるので 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る」 ということが書かれている。 -------------------------------------------------------------------------- 出版社から頂いた回答と、この自分の考えが 合っているのか自信がもてません。 出版社にはこの事以外にも色々質問していて、何度もメールしづらいのでここで質問させてもらいました。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 背理法の必要十分性について
背理法の必要十分性（正しさ？）について教えてください！ つまり、背理法でP⇒Qを証明するにあたり、題意の命題が真であることは前提としてよいのでしょうか？？そうでなければ、たとえばP∧（Qの否定）から矛盾が生まれたとしても、命題が真とは言えないはずでは？？（集合の考え方で、（P⇒Q）⇔（P⊆Q）を考えれば明らか）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法
背理法について質問です。「ある命題Ａを仮定して矛盾がでてきた」ときＡでないと結論できるのはなぜでしょうか？ まず問題の体系が無矛盾であることはどこで保証されるのでしょうか？（不完全性定理で無矛盾な体系ではその無矛盾性は証明できないというのを聞いたことがありますが…）さらにその体系が無矛盾だとわかっても「無矛盾な体系内で、仮定した命題から矛盾がでてきた」ことと「問題にしている体系が無矛盾である」ことの間にできた新たな（より高次な）矛盾に対して先ほどと同様の問題につきあたってしまうと思うのですが。（ つまり背理法で「Ａから矛盾ができた」→「Ａでない」が正しいことを保証するのに「Ａの体系の無矛盾」（←aとする）を言っても今度は「Ａによりその体系で矛盾がでてきた」ことはaに矛盾する→「Ａでない」としてしまうと→のところで検証してない背理法をつかってしまっていることになる）以上の疑問を解決したいので回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- RAID構成HDDのクローンコピーについて
- 内蔵HDDは3GB×4台のRAID10構成で、7年の連続稼働後に新しいディスクに換装したい。ガチャベイのハードディスククローンコピー機（LHR-28DPU3_SG V01)を使用して個別HDDのクローンコピーは可能か？
- RAID構成のHDDをクローンコピーするためには、ガチャベイのハードディスククローンコピー機（LHR-28DPU3_SG V01)を使用することができるのか疑問に思っている。内蔵HDDは3GB×4台でRAID10構成しており、7年間連続稼働しているため、新しいディスクに換装したい。
お礼
みなさん回答ありがとうございます 穴の空いてない5円玉というのが存在しているらしいのでこの命題自体が間違っているので証明は一生出来ない