命題について

質問

証明問題をやっていて、答えをみると対偶とか、背理法で証明をしているのですが
条件を否定する必要があります。それに関する質問です。
命題の仮定や結論が何になるのかがよくわかりません。
基本的なことになるのですが、よろしくお願いします。
(1)√２が無理数であることを証明せよ。
解答は背理法で証明していました。
ということは、結論を否定して矛盾を導くことになると思うのですが、
そこで仮定は何で、結論は何になるのか疑問に思いました。
仮定は、√２が実数。仮定は√２は無理数。とおもいましたが、
正しくはなにか。
(2)ａとｘは実数で、あるｘに対して、ａ＜ｘとなるａが存在することを証明せよ。
この命題の仮定と結論が何になるのか、よくわかりません。
結論が分からないので、否定も考えられません。よろしくお願いします。

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

高校の参考書に、「√2 が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ」という問題があったので、その解答を見てみました。
結局、証明の部分で述べられていることは、「等式 x ^ 2 = 2 を満たす正数 x は、有理数ではない」ということでした。
その参考書では、無理数を「有理数でない実数」と定義しているので、「√2 が無理数である」ことが証明されたことになります。
仮定は「 x は x ^ 2 = 2 を満たす正数（正である実数）」、結論は「 x は無理数」、ではないでしょうか。
x ^ 2 = 2 を満たす正数（つまり、√2 のこと）が存在することは、面積が 2 の正方形が存在することと同値です。
一辺が 1 の正方形の対角線を一辺とする正方形の面積が 2 であることは、確か中学で証明したような記憶があるので、√2 の存在は認めて構わないと思います。

>ａとｘは実数で、あるｘに対して、ａ＜ｘとなるａが存在することを証明せよ。
「全体集合を R とするとき、∃x ∃a, a < x 」は真です。
ただ、私は論理学を本格的に学んだことはなく、高校で習った知識＋α程度しかありません（数学と論理学は別の学問だそうで、論理学の授業はなく、集合論の授業で申し訳程度に教わっただけ）。
だから、結論が「∃x ∃a, a < x 」だということは（たぶん）正しいと思うのですが、仮定は何かと聞かれると、よく分かりません。
ただ、全体集合が R という仮定がなければ（例えば、全体集合が C － R ならば）、この命題は真ではありません。
だから、「全体集合が R」ということが、仮定のような気がします。
ちなみに、「全体集合を R とするとき、∀x ∃a, a < x 」も真です。

回答No.5

alice_44

＞ 命題の仮定や結論が何になるのかがよくわかりません。

まず第一に、どの命題にも「仮定と結論」がある訳ではありません。
特に仮定の無い命題など、ザラにあります。
「命題」とは何だったか？ 教科書で確認しておきましょう。
ここが仮定、ここが結論と指すことができるのは、命題のなかでも
「～ならば～」という形をしたものに限られます。

(1) 背理法の場合は、単なる「～ならば～」よりも構造が複雑です。
証明したい命題 P に対して、P の否定を仮定して、そこから
矛盾を導くのが背理法です。『P でないならば、矛盾する』という
命題を証明することになります。
『 』の命題は、「～ならば～」という形をしていますから、
その中では「P でない」が仮定、「矛盾する」が結論です。
しかし、背理法全体としては、『 』が成立することによって、
最終的に「P である」ことを示そうとしているのです。
以上のような経緯から、「P でない」を背理法の仮定、
「P である」を背理法の結論と呼んでしまうこともあるのですが、
「P でない」と仮定して「P である」を導いた訳ではないので、
その呼び方では、本当はマズイのです。

(2) その命題にも、仮定とか結論とか呼べる部品は特に無い
ように思います。証明についても、背理法は使いそうにありません。
文章の意味が「∃x ∃a, a < x」であれば、
No.1 にあるように 0 < 1 を例示して終わりだし、
「∀x ∃a, a < x」のつもりであれば、
アルキメデスの公理から自明です。

お礼

回答ありがとうございます
命題は仮定と結論があるものをいうと思っていました。
よって、証明問題には仮定と結論が必ずそんざいするものだと
思っていました。

回答No.4

Tacosan

「あるｘに対して、ａ＜ｘとなるａが存在する」なら #2 の方で OK＞#3.

お礼

回答ありがとうございます
結論　あるｘに対して、ａ＜ｘとなるａが存在する
の否定はどうなるのか、教えてもらえればありがたいです。

回答No.3

OurSQL

>ａとｘは実数で、あるｘに対して、ａ＜ｘとなるａが存在することを証明せよ。
質問者様の作った命題は、「全体集合を R とするとき、∃a ∃x, a < x 」という内容ですね、たぶん。
順番が逆でした。

回答No.1

Tacosan

(1) 「仮定は、√２が実数。仮定は√２は無理数」って, 何を仮定しているんだろう? 後ろが「仮定」じゃなくて「結論」なら, まあこれであってる. ということで, その「解答」では「√2 が『無理数でない実数』」と仮定して矛盾を導いているはず.
もっとも, 何を仮定とするかについては議論の余地がある. ぎりぎり言えば「そもそも『√2』なるものが存在するのか」ということから話が始まらないといけないんだけど, これはやりだすとまた面倒な話になりそう. ということで, 本当はレベルによって過程が異なる可能性があります.
(2) は... あれ? なんか命題がおかしい.... 本当にこの命題なら, わざわざ背理法とか対偶を持ち出さずとも「0 < 1」で終わり. おそらく示すべき命題は
a と x を実数としたとき, 任意の x に対して a < x であるような a が存在する
ではないかと思うんだけど, これにしてもわざわざ背理法使ったりしないよなぁ....

お礼

回答ありがとうございます
問題を間違えすみませんでした。
おっしゃる通り
(1)仮定は、√２が実数。仮定は√２は無理数　でなく、
訂正して、仮定は、√２が実数。結論は√２は無理数。
(2)について、おっしゃる通り、実際にあった問題でなく、
考えやすいように（自分が）、

a と x を実数としたとき, ある x に対して a < x であるような a が存在する

としました。これだと、正しい命題だとおもいました。

もし、a と x を実数としたとき, 任意の x に対して a < x であるような a が存在する
とすると、この命題が正しいのか私はよくわかりません。