背理法

質問

二つ問題があるのですが、よく分からないので教えて下さい。

１　　ｎが自然数のとき、命題
　　　ｎ2は偶数⇒ｎは偶数　が成り立つ事を証明しなさい

　　　　（１）この命題の対偶を作れ
　　　　（２）（１）で作った対偶が成り立つ事を証明する事でもとの命題が成り立つ　　　　　　事を証明せよ
２　　√2が無理数である事を用いて、3+2√2が無理数であることを背理法で証明　　　せよ

教科書を読んでもイマイチ分からないので宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

「イマイチ分からない」だから「だいたいわかるけどあやしい部分もある」かと思ったんだけど, そうじゃないんですね. まあ, いいけど.
さておき, 「背理法」というのは「何かを仮定すると矛盾が生じてしまうので, 元の仮定がおかしい」とする証明法です. 2 の方で行きますが, 「3+2√2 は有理数である」と仮定すると「√2 は有理数である」という結論を導くことができます. ところが, 既に「√2 が無理数である」ことは分かっているのでこれは矛盾です. 矛盾を生じるということは「どこかがおかしい」ということですから
(1) 元の仮定
(2) 途中の導出
の少なくとも一方は間違いであるということになります. 今の場合は調べてみると (2) の方には間違いが見当たらないので (1), つまり「3+2√2 は有理数である」という仮定がおかしいという結論になります.
1 は書いてある通りにやるだけ. 「背理法」といえば背理法だけど, 普通はそう呼ばない気がする. 「対偶証明」とかいうことはある.

回答No.1

Tacosan

1 はどういう問題なのかよくわからんのだが.... 「ｎ2」ってなに? (2) で問うているのは何? そして, 最初の「ｎ2は偶数⇒ｎは偶数　が成り立つ事を証明しなさい」はどう扱えばいいの? これを証明した上でさらに (1), (2) をやる? それとも, (1) と (2) だけで十分?
あと, 「背理法」についてどのくらい理解できているのでしょうか?
あなたが「背理法」について理解しているところをすべて挙げてみてください.

補足

すみません。ｎ2は二乗のつもりでした...正しくはn^って書けばよかったんでしょうか？

背理法は全くわかってないです。っていうか数学かなり苦手なんですみません。。。