高１数学 命題の証明

質問

「整数ａの平方ａの2乗が３の倍数ならば、ａは３の倍数であることを証明せよ。」

という問題が教科書に載ってたんですが解答をみると、この命題の対偶を使って証明しています。
この証明を対偶を使わずに証明するとどうなりますか？

疑問に思ったので分かる方いましたら、教えてください☆

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

mとkを整数として、aは　a＝3m＋k（k＝0、1、2）と表わせる　‥‥(1)
又、a＾2＝9m＾2＋6mk＋k＾2＝3*（3m＾2＋2mk）＋k＾2　となる。
k＝1の時、a＾2＝3*（3m＾2＋2m）＋1　であり（3の倍数にならない）、同時に、(1)はa＝3m＋1となって、3の倍数にはならない。
k＝2の時、a＾2＝3*（3m＾2＋4m）＋4　＝3*（3m＾2＋4m＋1）＋1であり（3の倍数にならない）、当時に、(1)はa＝3m＋2となって、3の倍数にはならない。
k＝0の時、a＾2＝3*（3m＾2）であるから3の倍数になり、同時に、(1)はa＝3mとなって、3の倍数になる。

全ての整数は、(1)の形に表せる事は知っておかねばならない。

回答No.2

sono0315

a^2は平方数なので、共通の因数を必ず偶数個ずつ持つ。

ここで、a^2が3の倍数ならば、3を因数として偶数個持つ。
したがってaは3の倍数である

対偶の方が楽ですね

回答No.1

yasei

素因数分解を考え、3の指数が偶数であることに着目します。