この命題の真偽は何ですか？

質問

次の命題の真偽は何ですか？
「x,yは実数とする．x＞0ならば，あるyについてxy＞0である．」
確かにy＞0のyに対してこれは成り立っていると思います．
しかし，この命題の対偶である
「x,yは実数とする．すべてのyについてxy≦0ならば，x≦0である．」
が偽であるような気がします．

反例：x=1,y=-1

ではやはり，最初の命題は偽なのですか？

回答No.4

osu_neko09 · ベストアンサー

「反例：x=1,y=-1」では反例になっていない、といっているのです。
これでは、「あるyについてxy≦0」を示しているに過ぎないのです。

対偶をまともに証明してみましょうか？
x,yは実数とする．すべてのyについてxy≦0とする。
xは実数なので、x＜0またはx=0またはx＞０である。
また、すべてのyについてxy≦0なので、y＝-1　でもy＝1でもxy≦0である。
x＜0のときにはy＝-1、x＞０のときにはy＝1とするとxy＞０になるので、「すべてのyについてxy≦0」が成立しない。よってx=0。
Q.E.D.

お礼

ありがとうございます．
この命題（対偶）は真なので反例は関係ないのですね．
すべてのyについてxy≦0を満たすxはx≦0（x=0のとき)なのですね．
やっと分かりました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

koko_u_u

>すべてのyについて成り立つわけではないので偽なのですか？

違います。対偶の文章をよく読みなさい。という意味です。

お礼

ありがとうございます．
すべてのyについてxy≦0を満たすxはx≦0（x=0のとき)なのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

OurSQL

最初の命題は真で、対偶の方も真だと思いますけれど。

お礼

ありがとうございます．
・・まだ分かりません．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

koko_u_u

>反例：x=1,y=-1

「すべての y について」って言ってるじゃん。

補足

ありがとうございます．
すべてのyについて成り立つわけではないので偽なのですか？
これからもよろしくお願いします．