命題の真偽。

質問

次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例を挙げなさい。

x^2≧4⇒x≧2

x^2=1⇒x=-1

mが巣数⇒mは奇数

整数nについて、n^2≦4⇒-3≦n≦3

教えてください。お願いします！

回答No.4

noname#175206 · ベストアンサー

反例は、実はきっちり調べる必要があります。もちろん、偶然思いついた値が反例になれば、それでもいいのですが、実用に供する数学解としては、反例では不足なことが多いですよ。

>x^2≧4⇒x≧2

　x^2-4≧0と変形します。すると、(x-2)(x+2)≧0です。これは、

　x-2≧0かつx+2≧0　∴x≧2かつx≧-2　∴x≧2
　　または
　x-2≦0かつx+2≦0　∴x≦2かつx≦-2　∴x≦-2

となり、「x≧2またはx≦-2」となります。

　ここで、与えられた条件「x≧2」と見比べると、「x≦-2」を満たしません。

　ようやく、確信を持って反例を言える段階に来ました。たとえば「x＝-3」なら、「x^2≧4」を満たしても、「x≧2」を満たしません。よって、与えられた命題は偽です。

>x^2=1⇒x=-1

　同様に、(x-1)(x+1)＝0として、「x＝1またはx＝-1」となり、「x＝1」が「x＝-1」の反例となります。もちろん、いきなり「x＝±1」と解いてもOKです。

>mが素数⇒mは奇数

　mは素数とされているから整数ですね？　そうだとして。

　これは「素数とは何か？」となり、数式では難しい命題ですね。こういうときは「命題の真偽は、その対偶の真偽と同じになる」ということを使います。

　命題が「Aであるなら、Bである」であれば、対偶とは「Bでないなら、Aではない」というものです。AとBの否定を、逆に言うものが対偶です。

　対偶にしてみましょう。「mが奇数ではない⇒mは素数ではない」ですから、「mは偶数⇒mは素数ではない」となります。

　その通りだ、正しい、と慌てそうになりました。偶数の2は素数なのでした。対偶が偽となりますから、元の命題も偽です。

>整数nについて、n^2≦4⇒-3≦n≦3

　やはり、(n-2)(n+2)≦0とすると、「-2≦n≦2」が出てきます。整数だということに注意すると、その範囲を超えるのは、まず「-3」と「3」があります。

　どちらも「n^2≦4」を満たさず、しかし「-3≦n≦3」は満たします。よって「x＝3, -3」（だけ）が反例となり、命題は偽です。

　ちなみに、もし「-3＜n＜3」だったら真ですね。整数や自然数だとうっかりしやすいかもしれません。

回答No.3

TOHOKUEAGLESNO1

訂正

x^2=1⇒x=-1

はい、これも不等式解けばわかります。

←不等式ではなく方程式でした。失礼しました。

回答No.2

TOHOKUEAGLESNO1

もう回答出てるみたいですが、少し詳しく見ていきますか。

x^2≧4⇒x≧2

これは普通に２次不等式解きましょう。

x">=4

x"-4>=0

(x+2)(x-2)>=0

よって

x>=2 もしくはx=<-2という風になります。

これであれば必ずx>=2というのはおかしいでしょ？

よって既に出ているように偽です。

x=<-2が反例となります。

x^2=1⇒x=-1

はい、これも不等式解けばわかります。

いたって単純なのでまず御自身でもトライしましょう。

x"=1を解くと、

x"-1=0

(x+1)(x-1)=0

x=1もしくは-1

これであれば必ずｘ＝－１というのはやはりおかしい。

偽です。

ｘ＝１が反例です。

mが巣数⇒mは奇数

多分これ素数の打ち間違いですよね？

それを前提としますが、

素数というのはその数でしか割りきれない数のこと。

例）2,3,5,7,11など。

　こういう風に例を挙げると、自然とわかりますね。

　素数は偶数も入ってるので命題は偽ということになります。

　偶数もあるのにmは奇数などと断言してはダメなのです。　

　反例は偶数です。

整数nについて、n^2≦4⇒-3≦n≦3

これは解いて下さい。

n"-4=<0

(n+2)(n-2)=<0

-2=<n=<2となり、-3以上３以下の範囲内に入っています。

よって真です。

コメント：どちらをベストアンサーにするかはake58643さんに任せますが、

　　　　　これ解けないと必要条件、十分条件の問題が解けないので

　　　　　もう少し頑張りましょう。

回答No.1

halcyon626

前３つは偽。

x^2≧4⇒x≧2
反例：ｘ≦-２

x^2=1⇒x=-1
反例：ｘ＝１

mが巣数⇒mは奇数
反例：ｍ＝２