無限等比級数の極限の問題です。

質問

学校の問題集の問題なのですが。

次の命題の真偽を調べて下さい。偽のときはその反例をあげてください。

（注）{an}と{bn}は無限数列です

１．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=0
ならば,lim_(x→∞){an}{bn}=0

解答では　偽で反例は {an}=2n ,{bn}=1/n となっているのですが
どうしてなのでしょうか？

２．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=＋∞
　　ならば、lim_(n→∞)({an}-{bn})＝0

この問題は解答では　偽で反例は{an}=ｎ,{bn}=n^2
となっています。

教えて下さい。お願いします。

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
次の命題の真偽を判定せよ。

　lim[n→∞]a_n=+∞
　lim[n→∞]b_n=0
ならば、
　lim[n→∞]a_nb_n=0.

【解答】
　a_n=2n
　b_n=1/n
とすれば、
　lim[n→∞]a_n=lim[n→∞](2n)=+∞
　lim[n→∞]b_n=lim[n→∞](1/n)=0
であるが、
　lim[n→∞]a_nb_n=lim[n→∞](2n)(1/n)=lim[n→∞]2=2.
ゆえに、命題は、偽である。

お礼

早いお返事本当にありがとうございます。
問題が解決しました。
ありがとうございます。

回答No.1

a0123456789

両方とも実際に{an}と{bn}に反例で挙げられている数列をいれて計算すれば自明ではないでしょうか？
1.はlim_(x→∞){an}{bn}=lim_(x→∞)2= +∞　≠0
2.はlim_(n→∞)({an}-{bn})＝lim_(n→∞)(n-n^2)＝-∞≠0

お礼

こんな早くにお返事を頂けてうれしいです。ありがとうございました。
すいません。もう1個お聞きしたいのですが。

（１）、（２）の問題ではどのようにして
反例を出せば良いのでしょうか？