背理法の必要十分性について

質問

背理法の必要十分性（正しさ？）について教えてください！
つまり、背理法でP⇒Qを証明するにあたり、題意の命題が真であることは前提としてよいのでしょうか？？そうでなければ、たとえばP∧（Qの否定）から矛盾が生まれたとしても、命題が真とは言えないはずでは？？（集合の考え方で、（P⇒Q）⇔（P⊆Q）を考えれば明らか）

回答No.3

take008 · ベストアンサー

NO1 のお礼の中の再質問に対して

√2 が無理数でないと仮定する。
√2 は有理数である（2乗すると正の数になるから実数なので）。
……
矛盾する。
ゆえに，無理数でないということはない。
すなわち無理数である。

ここで，最後の推論は二重否定の原理（Ｐの否定の否定はＰの肯定である）を使っています。

二重否定の原理は，排中律（Ｐであるか，Ｐでないかどちらかである。中途半端は認めない）と同値です。
一般社会では中庸ということも考えられますが，数学では考えません。

回答No.2

Caper

● 証明しようとする命題が

　 P ⇒ Q

としますよね。このとき、「 背理法による上の命題の証明 」は下のどちらかの命題を証明するものですよね、おそらく … 。

　 ( P ∧ ( Q の否定 )) ⇒ ( P の否定 )
　 ( P ∧ ( Q の否定 )) ⇒ Q

　 3 つ の命題はすべて同値ではないでしょうか。

● この回答がまちがっていたり、的はずれだったりした場合は、ごめんなさい。

回答No.1

take008

Ｐ⇒Ｑ を証明するのに
「Ｑの否定を仮定して，Ｐの否定を導く」のは対偶を示す方法で，背理法とは少し違います。
背理法は，「Ｐと，Ｑの否定を仮定して矛盾を導く」ものです。
普通の証明は，Ｐを使う（そしてＱを導く）
対偶の証明は，Ｑの否定を使う（そしてＰの否定を導く）
背理法は，Ｐと，Ｑの否定両方を使う（そして矛盾を導く），両方使うから強力なのです。ふつうの証明でも，背理法で考えて得られた証明を，ふつうの証明に改良したというものが多いです。
迷路を解くのに，入り口と出口両側から攻めるのに似ていますね。

お礼

ありがとうございました！ただ、証明の仕方はわかるのです。たとえば、√２は無理数の証明ですが、有理数として矛盾が出てきたとして、なぜ無理数だといえるのですか？有理数でないから無理数とはいえないのでは？例えば、虚数があるし、未だ発見されていない数の概念かもしれないし・・・。