背理法がぱっとしないんですが、画像の(1)は(1)

質問

の命題の部分の否定が成り立つことと仮定して、それが成り立たないと証明したら、命題とその否定の真偽は真逆だから、すなわち命題の部分が成り立つと証明したことになる。ってことですか？

あと、高校数学の背理法って一つだけですか？それともいろいろパターンがあるんですか？

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

背理法というのは、証明したい命題が偽であると仮定して
議論を進めていったときに前提条件と矛盾することを示して、
証明したい命題が真であることを証明するための方法です。
この考え方以外にはありません。

お礼

そうなんですね。ぱっとしました。

ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

ある自然数n+1に対してa(n+1) = 3であると仮定すると、
a(n) - 9 = 3(a(n) - 5)
a(n) - 9 = 3a(n) - 15
2a(n) = 6
a(n) = 3
これは、a(1) = 1であることと矛盾する。よって、
すべての自然数についてa(n) ≠ 3
こういうことではないかと思います。

b(n+1) = 1 / (a(n+1) - 3)とおく。
a(n+1) - 3 = (a(n) - 9) / (a(n) - 5) - 3
= (a(n) - 9 - 3a(n) + 15) / (a(n) - 5)
= (-2a(n) + 6) / (a(n) - 5)
b(n+1) = (a(n) - 5) / (-2a(n) + 6)
= (a(n) - 3) / (-2a(n) + 6) - 2 / (-2a(n) + 6)
= -1/2 + 1 / (a(n) - 3)
= -1/2 + b(n)
数列{b(n)}は、初項-1/2、公差-1/2の等差数列
一般項b(n) = -1/2 - 1/2(n - 1) = -n/2
a(n) = 1 / b(n) + 3 = -2/n + 3
n→∞とすると、-2/nは限りなく0に近づきますが、決して0にはなりません。
よって、a(n)はn→∞とすると限りなく3に近づきますが、決して3にはなりません。
というわけで、すべての自然数nについてa(n) ≠ 3であることが裏付けられたことになります。

お礼

ありがとうございます。

（１）の条件があっての（２）の結果だから、その結果はその条件と矛盾しないんですね。