ベストアンサー 偽の命題AとAと矛盾する命題BのA⇨B 2022/02/06 10:09 初歩的な質問ですみません! つねに偽な命題Aと任意な命題BでA⇨BというときのBは、Aと矛盾する命題も含みますか? たとえば、「2+2=5」⇨「2+2=4」という命題も、真ですか? みんなの回答 (1) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー tmppassenger ベストアンサー率76% (285/372) 2022/02/06 11:04 回答No.1 はい 通報する ありがとう 1 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 「命題AとBには論理積の関係がある」←正しい言い方 命題Aと命題Bについて次の4つの関係が成り立つ時、 A∧B→真 A∧¬B→偽 ¬A∧B→偽 ¬A∧¬B→偽 下記の言い方は合ってますか? 1.「AとBには論理積の関係がある」 2.「AとBの論理積は真であり、AとBの否定論理積は偽である」 より適切なものがあれば教えて下さい。 偽⇔偽 また似たような質問ですみません。 命題Aも命題Bも偽であるとき、 A⇔B は、 A→XかつB→Y(X,Yは真偽の分からない任意の命題) と同値と考えていいですか? ある表現が命題かどうかを示すには? 次の表現 a.月は地球の衛星である。 b.今日は天気がいい。 c.任意のxについてx+y=2である。 が命題かどうかを示し、命題であれば、その真理値を示せという問題があるのですが、 まず、これらの表現が、命題であるかどうかを示す方法がわかりません。 命題とは、真あるいは偽であるかが定まる文章ということなので、 aは真偽がはっきりしているので命題だと思うのですが、 (ここで、真偽がはっきりしているから、ということでこの表現が命題であることを示したことになるのかが分かりません) b、cはどうなるのでしょうか? bで天気というのは、晴れ・曇り・雨などいろいろあり、単にいい悪いとはいえないので、命題ではない? そしてcではxは任意ですが、yは決まっていないのでどうなるのかさっぱりわかりません。 ということで、私の考えでは aは命題、この命題は真なので、真理値は1 bは命題ではない cは、わかりません。 ということまでしか分かりません。(というか、あっているのかも分からない) 解き方が分かる方がいましたら、是非教えて欲しいと思います。 よろしくおねがいします。 長々とした文章でスイマセン。 この命題は真ですか偽ですか? 以下の命題が真か偽か分からなくなってしまいました。教えて下さい。 「自然数nが0より小さいならばnは無理数である。」 「AならばB」で、Aが偽でBが真のとき真になる理由 Aが偽でBが真のとき「AならばB(A⇒B)」は真になりますがこれはなぜでしょうか 他の推論から導かれるのか、そのように定義したのか、そのほかの理由なのか もし「そのように定義したから」という場合、なぜそう定義したのかわかる方はいますか あるいは逆にAが偽、Bが真のときに「AならばB」を偽とした場合 都合が悪くなる例など示していただけますか 【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その 【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その仮定の矛盾を指摘することで命題の真を証明する。 例------- 「 5円玉には穴が空いている。 5円玉には穴が空いていない。 けど手に持っている5円玉には穴が空いている。 よって5円玉は穴が空いている。 」 これって証明になりますか? これは例え方が悪いから説得力がイマイチ感じられないだけ? 例が下手くそすぎ? どうやったら説得力が増すのか背理法の書き方のコツを教えてください。 以下の2つの命題の違い 以下の2つの命題の違いがわかりません.違いを教えていただけると嬉しいです.((1)は偽で(2)は真だそうです.) (1) ∀a,b,c∈R{(b≦c→a≦c)→a≦b} (2) {∀a,b,c∈R(b≦c→a≦c)}→a≦b 「(1)について,このcは任意ではあるが特定のものである」 のだそうですが,おそらく私は,この「」の中の文章の意味が解り, さらに(1)の反例が何かが解れば,2つの命題の違いが理解できるのではないかと思っております. ご教授お願いいたします. 命題 命題の質問です a≦0 または b≦0 ならば ab≦0 という命題の真偽はどちらなんでしょうか?? 反例として a=-1,b=-2とか考えると偽ですが、そうすると「または」にならない気がします。 ご教授よろしくおねがいします 命題の真偽 命題P⇒Qが真となるのは (1) Pが真でQも真 (2) Pが偽であって、Qは真か偽かはどちらでもよい の2パターンがありますよね? 命題P⇒Qが真であることを示せ。といった問題は、 上の(1)・(2)の2つとも成り立つことを示さなくてはならないのですよね? 例えば、高校の数学の教科書にあるような a>b,c>d ⇒ a+c>b+d を証明せよ という問題は、「a>b,c>d ⇒ a+c>b+d」が真であることを証明せよと言っていると思うのですが, 解答では,a>b,c>dが真であることを仮定してa+c>b+dを導いています。 a>b,c>dが偽である場合は考えていませんが、 これは、a>b,c>dが偽の場合、a+c>b+dが真であろうが偽であろうが、いずれにせよ「a>b,c>d ⇒ a+c>b+d」は真となるので、 解答に書く必要がなく、a>b,c>dが真の場合だけを解答に書けばよいからということなのでしょうか? 例えば、 -k<x<k ⇒ x≧-1 が真となるようなkの値の範囲を求めよ。 といった問題があった場合、 (i) k≦0のとき -k<x<kを満たすxは存在せず(つまり偽であり)、 -k<x<k ⇒ x≧-1 は真 (ii)k>0のとき -k<x<kを満たすすべてのxが、x≧-1を満たせばよく、 -k≧-1 ∴0<k≦1 以上より、 k≦1 といった具合になると思います。 こういった場合は、Pの部分が偽であることも考慮しますから、 やはり先の証明問題ではPの部分(a>b,c>dが偽の場合)が偽であるときは省略されていると考えるのが妥当なのですかね? "1+1=2"→"13は素数である" は真か偽か "1+1=2"→"13は素数である" は真ですか?偽ですか? 偽であるのなら,反例は何でしょうか? 真であるのなら,新たな疑問がわきます. その新たな疑問というのは, A→Bが真 であるのなら,ヴェン図で言うとAはBにスッポリ包まれているはずですが, "1+1=2"は"13は素数である"に包まれていない気がするのです.(言い換えますと,13が素数である理由は1+1=2であるからではない気がする) 包まれていなくても真と言えるのでしょうか? そもそも "1+1=2"→"13は素数である" は命題ではないのでしょうか? よろしくお願いいたします. Aが偽のとき、Bの真偽によらず「AならばB」は真 学校で習った覚えがあります。 「AならばB」の真偽について、もしも、Aが偽の場合は、Bが真でも偽でも、「AならばB」は真であると。 ここで違和感があります。 特殊相対性理論は、 光速度不変の原理(前提)から、高速で運動する物体の時間はゆっくり進む(など)の帰結が導かれます。 (相対性原理は省略) これを「AならばB」に当てはめると、 「光速度が不変ならば、高速で動く物体の時間はゆっくりになる」です。 このAならばBを特殊相対性理論と呼ぶことにします。 で、 Aが偽なら、Bの真偽によらず「AならばB」は真ということになると、 光速度不変の原理が間違っているなら、そのあと、どんな帰結を言おうと、特殊相対性理論は正しいということになってしまいます。 これって、おかしくないですか。 光速度不変の原理が正しいと仮定して、妥当な帰結を導出したのが特殊相対性理論なのに。 どういうことでしょうか。 A・B=B・AならばAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである A,Bをそれぞれn次正方行列とする 命題1: 「A・B=B・AのときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」 これは反証がすぐに得られるので偽である 命題2: 「A・B=B・AでありAの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が1次元のときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」 kony0氏の証明より vをAの固有ベクトルとしたときaを適当な複素数としてA・v=a・v 一方A・(B・v)=(A・B)・v=B・(A・v)=B・(a・v)=a・(B・v) 従ってB・vはAの固有値aの1次元固有ベクトル空間に含まれるから 適当な複素数bが存在してB・v=b・v 命題1に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください 数A 論証 論証について質問させてもらいます。 「0≧abならば、0≧aまたは0≧bである」 この命題の真偽をいえ という問題なんですけど、答えは真です。 でも0≧abって例えばa=-2 b=1 とかでもいけるじゃないですか? でもその場合、aは0≧aをクリアしてるけどbはしてないですよね? だから偽だと思ったんですが・・ どうして真になるんですか?教えてください! 命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真? 命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず 「PならばQ」が真になるのが、納得できません。 よい説明がありましたらお願いします。 命題について。 命題と証明についての質問です 「A,K,13,48」のカードがあり、文字の裏には数字が書いてあることがわかっている。「母音の裏は必ず奇数である」どういう仮説が真か偽かを調べるために最低限どのカードをめくればいいか ご教授いただけないでしょうか?すみません。 この命題は証明できないについて ゲーデルの不完全性定理などの話の中で上がる、「この命題は証明できない」の矛盾について、どこが矛盾になるのかよくわかりません。 定義的な読み違いだと思うのですが、自己言及のパラドックス(床屋の〜とか嘘つきの〜)については納得というか理解ができます。 例えば嘘つきのパラドックスでは「私は嘘つきである」という発言が正なら嘘をついているので正直者ということに、偽なら正直者のはずが嘘つきと嘘をついている、と矛盾が生じます。それはわかります。 この命題は証明できない、の場合も同じように考えるのだということはわかるのですが、「この命題」をAと表記したときに、「Aが証明できない」が正であれば「Aは証明できない」ということを「証明できる」ということになります。 「Aが証明できない」を偽だとすると「Aは証明できる」ことになります。 ここまではよいのですが、これは数学的な話であり、正の「Aが証明できないことを(BやCなど別の定理を使って)証明する」ことは可能な気がしますし、偽の「Aは間違いである」と結論付けることにも問題がない気がします。 嘘つきのパラドックスとの差に、他の考え方(上記例で言うとBやCといった命題以外の定理)の持ち込みがあるので、これが読み違いというか悩みの原因だと思うのですが…。 持ち込みがなく、命題のみで行う場合(=自己言及のパラドックスに陥る場合)がゲーデルの不完全性定理に当てはまる場合であり、持ち込みがあり矛盾なく証明または反証ができる場合が解決可能な定義(または予想)という認識であってますか…?? 数学学んでるわけではなく、単純に目に触れて興味持っただけのド素人です。学校教育から離れて久しいですので、ものすごくわかりやすい説明や解説を求めております。。。 AならばBの真偽について。 昔、学校で習った覚えがあります。 Aが真でBが真のとき、「AならばB」は真とか、 Aが偽のときはBの真偽によらず、「AならばB」は真とか。です。 後者は、おいといて、前者でも違和感があるときがあります。 AとBがどちらも真だとしても、AとBが無関係の場合とか、因果関係があるかどうか、定かではない場合です。 例えば、 「1+1=2ならば、三角形の内角の和は180度である」 これは、 三角形の内角の和が180度になることの理由が1+1=2だと言っているような気がして違和感です。 あるいは、「今年の夏が暑いならば、今年の夏はビールが売れる」 前者と後者が真だとしても、夏が暑いならばビールが売れたというのを真としていいのか? という違和感があります。 というか、詐欺商法にもありそうな話です。 他にも、Aが真でBが真のとき、AならばBは真であるということに違和感がある命題はいくらでも思いつきます。 それなのに、学校で一律に「Aが真でBが真のとき、AならばBは真である」と教えていいのでしょうか。 真偽を判定してください ①~④の真偽を判定してください。 命題① 「自然現象は数学でモデル化できる」 (ほとんどの科学理論はこれを真だと信じて構築すると思います) 命題② 「『AならばB』の真偽について、Aが偽の場合、Bは真でも偽でも『AならばB』は真である」 命題③ 「全ての命題の真偽判定は論理に従う」 命題④ 「命題①が偽ならば、命題②である」 命題の真偽 「△ABC≡△A'B'C'ならばAB=A'B',BC=B'C',CA=C'A'」という命題は 「真である」と思うのですが、息子の中学校の数学の先生が「偽である」 といいます。。。理由は「他にも二角挟辺や、二辺挟角が等しいこともあるから」だそうですが、どうも腑に落ちません・・・ どうか、専門家のかた、返答お願いします。 命題とその対偶、真偽について 高校数学のある命題についてです。 a,b が整数であるとき、以下の命題があります。 ・命題: a*b が奇数のとき、aまたはbのどちらか一つが奇数である。 このとき、命題について対偶を考えます。 まず、「a*bが奇数である」 の否定は 「a*bが偶数である」 また、「aまたはbのどちらか一つが奇数」の否定は 「aが奇数 または bが奇数」の否定なので、ド・モルガンの法則より 「aが偶数 かつ bが偶数」、つまり「a,bの両方が偶数」 となり、本命題についての対偶は以下の様になると考えました。 ・対偶: a,bの両方が偶数のとき、a*bは偶数となる。 この命題の対偶は真となりますが、命題は疑となると思います。 一般的に命題とその待遇の真偽は一致するはずなので、 何かが間違えているのではないかと思っています。 (1) 命題は真? (2) 対偶のとり方が間違えている? (3) 対偶は真ではない? (4) 命題と対偶の真偽は一致しない? 大変困っております。どなたか教えて下さい。お願いいたします。