この命題は証明できないについて

質問

ゲーデルの不完全性定理などの話の中で上がる、「この命題は証明できない」の矛盾について、どこが矛盾になるのかよくわかりません。

定義的な読み違いだと思うのですが、自己言及のパラドックス（床屋の〜とか嘘つきの〜）については納得というか理解ができます。
例えば嘘つきのパラドックスでは「私は嘘つきである」という発言が正なら嘘をついているので正直者ということに、偽なら正直者のはずが嘘つきと嘘をついている、と矛盾が生じます。それはわかります。

この命題は証明できない、の場合も同じように考えるのだということはわかるのですが、「この命題」をAと表記したときに、「Aが証明できない」が正であれば「Aは証明できない」ということを「証明できる」ということになります。
「Aが証明できない」を偽だとすると「Aは証明できる」ことになります。
ここまではよいのですが、これは数学的な話であり、正の「Aが証明できないことを（BやCなど別の定理を使って）証明する」ことは可能な気がしますし、偽の「Aは間違いである」と結論付けることにも問題がない気がします。

嘘つきのパラドックスとの差に、他の考え方（上記例で言うとBやCといった命題以外の定理）の持ち込みがあるので、これが読み違いというか悩みの原因だと思うのですが…。

持ち込みがなく、命題のみで行う場合（=自己言及のパラドックスに陥る場合）がゲーデルの不完全性定理に当てはまる場合であり、持ち込みがあり矛盾なく証明または反証ができる場合が解決可能な定義（または予想）という認識であってますか…？？

数学学んでるわけではなく、単純に目に触れて興味持っただけのド素人です。学校教育から離れて久しいですので、ものすごくわかりやすい説明や解説を求めております。。。

回答No.2

sknbsknb2

ANo.1です。

もう少しいうと、
命題：証明によって真偽が確定できるもの
なので、証明ができないものは、命題ではない。
つまり「この命題は証明できない」の中では、
「命題ではないものを命題と呼んでいる」
という矛盾があります。

回答No.1

sknbsknb2

命題っていうのは、証明することによって真か偽かのどちらかになるものであって、どちらにもならないと証明するのは不可能です。

「この命題は証明できない」と言った場合、証明を行っていないと言っているにもかかわらず、真偽が判定できないと断定しています。

真偽が判定できないと断定するためには、その証明を行わなければならないのに、それをしてはいないというのが矛盾点です。
(証明もしてないのに、どうして断定できるんだ！ということです)