背理法について

質問

次の命題を考えます

n^2が偶数⇒nは偶数

「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、
矛盾を導く。
今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる。(２k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。
よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。

よって命題はただしい。（方針はこれでお願いします）」

ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。

2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？）

これはどこがいけないのでしょうか。

一般のnが証明できたからn＝２の時も成り立つのではないのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.16

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>(1)の命題はtknakammuraさんが言っている
>「 p が偽なら p⇒q は真のこと？」のpに相当すると
>わたしは考えています。

p→qが真になると生じる不都合はなんでしょう?

証明では、qは n^2は偶数。

で

p→qとp→否定qが同時に導かれます。つまり仮定が真なら
n^2は偶数であると「同時に」奇数でなければならない。
つまりpは常に偽でなけれぱならない。

ということです。pが常に偽なら、p→qもp→否定qも真
ですが、前提条件pが恒偽なので何も意味しません。

お礼

混乱してきたので、また質問内容をまとめて改めて質問したいと思います。

とりあえず一番最初の疑問は解決しました。またお願いします。

ありがとうございました。

回答No.5

mojitto

＃３です。
ちなみに…

質問者さまが背理法で証明しようとしたときのｋは、整数でなければなりません。

ただｎ＝２の場合は、そもそもｋは整数ではあり得ません。
ただしここで（ｎ＝２にするために）強引にｋ＝０．５とした場合、式に代入したらちゃんとｎ＾２＝４となりますよ。
ちゃんと計算しましたか？

つまり命題はちゃんと証明できてます。

質問者さまの言われる矛盾は、勝手にｋの解釈を変えたからです。

回答No.4

asuncion

＞n^2が偶数⇒nは偶数
＞「これを証明するために背理法を用いて
＞この命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、

3行目の中ほどにある「偶数∧」の「∧」の意味がわかりません。

なお、背理法というのは、命題を否定するのではなく、
結論（今回の場合は「nは偶数」）を否定（つまりnは奇数とする）して
議論を進めていくと、正しいとされているはずの前提（今回の場合は「n^2は偶数」）
との間に矛盾が起きることを示して、
元の命題が真であることを証明する、という手法です。

補足

命題自体を否定するのであってると思いますが...

記号はかつ、という意味です

回答No.3

mojitto

ｎが奇数であるとき、ｋはどのような数でしょうか。

ではそのｋの取り得る条件でｎ＝２は可能でしょうか？

先のｋと後のｋが別物であってはいけませんよ。

回答No.2

funoe

>2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、

の「２^2が偶数∧２は奇数」は偽なので、これを「仮定」したら、あらゆる命題が証明できてしまいます。

もとの論旨は、
「ＡかつＢを仮定して、￢Ａが示せるのでＡかつ￢Ａであるから矛盾」としていますが、
「２^2が偶数∧２は奇数」を「ＡかつＢ」とすると、前提(偶数奇数の定義）から￢Ｂが示せています。

つまり「ＡかつＢを仮定して、￢Ｂが示せるのでＢかつ￢Ｂであるから矛盾」となっています。

いや、もちろん、手間暇かければ「どんな命題でも証明できる」ので、
「ＡかつＢを仮定して」、一旦「￢Ｂが示せるの」で「Ｂかつ￢Ｂであるから矛盾」を経由して「￢Ａ」を証明することもできるのでしょうけど無意味に感じます。

補足

nとおくと、奇数か偶数かがわからないから2k＋1から矛盾を証明できましたが、n=2の場合、2は偶数ということからBかつ(Bでない)が導かれる、ということですか？つまり、nとn=2では証明方法が違うということですか？

回答No.1

bgm38489

n=2の時、
今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる？