数学Iの集合と論証について教えてください

質問

集合と論証が全く分からないので、教えてください。

（問題）nが自然数のとき、次の命題が真であることを証明しなさい。

（命題）(n+1)^2は偶数⇒nは奇数

（証明）
与えられた命題の対偶 nは偶数⇒(n+1)^2は奇数 が真であることを証明する。
nを正の偶数とすると、mを自然数として
n=2m+2 と表すことができる。このとき、
n+1=？？

？？が分かりません。普通に2m+2+1で良いんですか？
あと上の証明は合ってますか？

回答No.1

adachirusan · ベストアンサー

対偶が真になることを証明する方針で良いと思います。
nが偶数ということは、mを自然数としてn = 2mで表せます。
(n = 2m + 2も、2でくくると2(m + 1)になって2 × 自然数になるので結局同じです。)

この命題では、nが自然数のとき(n + 1)^2 が奇数になることを証明すれば良いので、(n + 1)^2に2mを代入して奇数になるかどうかを調べましょう。

(n + 1)^2 に2mを代入すると、

(2m + 1)^2
= 4m^2 + 4m + 1
= 2(2m^2 + 2m) + 1

mは自然数なので、2の倍数 + 1が成り立つので(n + 1)^2は奇数になる。
対偶が真になることが証明されたので、元の命題も真である。

お礼

丁寧にお答えくださり、本当にありがとうございました！とても分かりやすくて助かりました！