互いに素である2数の約数について

質問

整数係数のn次多項式の有理解は整数であることを背理法で証明しようとしてます。
ｓとｔが互いに素であるとき
t^n=ｓ*ｋ　(kはｔの多項式で整数)
となったときに
「t^nはｓを約数に持たないので矛盾する」と言って良いんでしょうか?それとも、使うのであれば証明しなければいけないでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.8

alice_38

♯6 は、ユークリッド環が一意分解整域
であることの、スタンダードな証明
だと思います。
一意分解性を導いてしまうのなら、
t,s,k それぞれの素因数分解を
t~n=sk に代入するだけで
質問の証明は完了です。
♯1 に尽きる ということなのでしょう。

回答No.7

yoikagari

個人的感想ですみませんが
「t^nは明らかに因数ｔを持つ
ｓ,tは互いに素なので t^nは因数s,tを持ち、～」
これはあまりにもアバウトですね。
要するに「互いに素な整数s,tをとる。整数Nがsとtで割り切れるならば、Nはs*tで割り切れる」
ということだと思いますが、これこそ証明がいるような気がします。

少なくとも個人的には「t^nが素数pで割り切れるならばtはpで割り切れる」ことが納得出来ないのに、
「互いに素な整数s,tをとる。整数Nがsとtで割り切れるならば、Nはs*tで割り切れる」は平然と使えるというのは腑に落ちないです。

申し訳ありませんが、説明していただければ幸いです。

お礼

言われてみればその通りですね。まぁ、それをきちんと説明できて、あの証明が正しいと言える自信があったならそもそも質問しないわけでして。素因数分解の一意性を基に考えたんだと思います。

ちなみにですが、
「t^nが素数pで割り切れるならばtはpで割り切れる」
を納得してないわけじゃないですよ。そうであるにはずだ、とは思っています。ただ私の理解不足の為に「本当にそうなのか?」と突っ込まれたら誰もが納得するまで説明はできないんです。
その辺のことは理解を示していただきたい

回答No.6

yoikagari

「nを2以上の整数とします。t^nは素数pで割り切れます。pは素数ですから、tもpで割り切れます。」…●
素因数分解の一意性を仮定すれば自明ですけど、
このことを使わずに証明するのは大変ですよ。

まず、以下の補題を言います。
「正整数a,bと素数pをとる。
abがpで割り切れるならば、aまたはbがpで割り切れる」…※
※の証明
aがpで割り切れるとき
これは明らか
aがpで割り切れないとき
以下のような正整数の集合Sを考える。
S={kは正整数|akがpで割り切れる}
Sの元のうち最小のものをeとすると、以下が言えます。

「Sの任意の元kはeで割り切れる」・・・○
○の証明
kがeで割り切れないと仮定する
kをeで割ったときの商をq、余りをrとすると
k=eq+r，0＜r＜e
k,eはSの元だから、整数u,vを用いてak=pu，ae=pvと書ける。
ar=a(k-eq)=ak-(ae)q=p(u-vq)，0＜r＜eだから
rはeより小さなSの元である。
ところがeはSの最小の元だから、これは不合理
したがってSの任意の元kはeで割り切れることがいえた。
○の証明ここまで

ab，apはpで割り切れるので、b，pはSの元である。
したがって○よりb，pはeで割り切れる。
eはpの約数だからe=1あるいはpとなる。
e=1と仮定すると、a=aeがpで割り切れることになって不合理
よって、e=pとなる。
したがってbはp(=e)で割り切れることがいえた。

以上よりaまたはbがpで割り切れることがいえた。
※の証明ここまで
（余談ですがヴェイユの証明だったと思います。）

※を使って●を言いましょう
●の証明
n=2のとき
t^2がpで割り切れるとき、※よりtまたはtがpで割り切れる。
よって、tがpで割り切れます。
n=hのとき●が正しいと仮定する。
(ただしhは2以上の整数)
n=h+1のとき
t^(h+1)がpで割り切れるとき、※よりt^hまたはtがpで割り切れる。
t^hがpで割り切れるとき、帰納法の仮定よりtがpで割り切れる。
tがpで割り切れるとき、明らかにtがpで割り切れる。
したがって、いずれにせよtがpで割り切れる。
よってn=h+1のときも●は正しいことがわかる。
したがって、数学的帰納法によって●が正しいことが言えました。
●の証明ここまで

以上でめでたく問題の「t^nは素数pで割り切れます。pは素数ですから、tもpで割り切れます。」がいえました。

回答No.5

Tacosan

#3 で指摘されているようにモニックを仮定する (私も #1 では失念していましたが) のであれば, この議論は「x = t/s が整数でない有理数解である」ことを仮定して始まるはずです. つまり, 質問文中には書かれていませんが「s≠±1」は (あるいは値の正負を分子に押しつけて s>1 は) あらかじめ仮定されていなければなりません.
「互いに素」の定義は「最大公約数が 1」なので元の値そのものに 1 を含んでいてもかまわないのですが＞#4, 上の仮定から s=1 は排除されているはずです.
「はず」と書いているのは質問文中に書かれていないから.
えぇと.... 「一意分解域」は仮定していいですか＞#4.

お礼

回答ありがとうございます！
仰るとおり、
「x = t/s が整数でない有理数解である」
という仮定から始めているのでｓ≠±1を前提にしてました。質問が不正確ですみません

回答No.4

alice_38

あれ？ 「互いに素」の定義は、
片割れが 1 でも ok でしたか。
それは、失礼した。

しかし、だとすれば、
文言を「t~n と s は互素だから」と
修正してみても、背理法に持ち込めない
のは同じでしょう。
s=1, t~n=k という解が、
矛盾なく存在することになりますから。

♯2 の不備は、むしろ s=-1 に言及しなかった
ことにあったかと。

♯3 の証明方針の最も本質的な部分は、
省略された「p が t~n の約数であれば、
t の約数でもある」ことの根拠にある
と思われます。

「素数」は、通常、語感に反して、
有理整数環の「素元」ではなく
「既約元」として定義されますから、
それには証明が必要です。

お礼

回答ありがとうございます！
正直「p が t~n の約数であれば、t の約数でもある」
事が何故いえるのかワカリマセンでした。

回答No.3

yoikagari

私も参戦しますw
alice_38さんの議論が余りにもめちゃくちゃなので。
特に「s=1 となるケースは～」のくだりが。

eltalieseさんへ
整数係数のn次多項式ではなく、整数係数のモニックなn次多項式ですね。
(そうでなければ、この命題自体成立しませんから)

＞「t^nはｓを約数に持たないので矛盾する」と言って良いんでしょうか?
このままではまずいと思います。
せめて、「t^nとsは互いに素だから」という文言がないと、駄目だと思います。

＞使うのであれば証明しなければいけないでしょうか？
あなたの状況によりますね。大学入試レベルであれば、「t^nとsは互いに素だから」という文言で逃げても何ら問題はないと思います。
ただあなたが整数を深く学ぶつもりなら、一応証明した方がいいかと思います。

以下、証明を。
結論としては、s=±1を言う方針でやります。
背理法を用います。
|s|≧2と仮定します。
sは必ず素因数pを持ちます。
t^n=ｓ*ｋですから、t^nは素数pで割り切れます。
pは素数ですから、tもpで割り切れます。
よって、s,tが公約数pを持つことになって、
s,tが互いに素であることに反します。
よって、|s|=1

alice_38さんへ
＞s=1 となるケースは、t と s が互いに素と
＞仮定した時点で除外されていたはずです
こんなことありえません。
互いに素であることの定義を再確認してみてください。

お礼

回答ありがとうございます！
モニックなn次方程式がどういうものを指すか判りませんが、次数がｎの項の係数が１の多項式です。

>pは素数ですから、tもpで割り切れます。
何故これが言えるのかが分かりませんでした。感覚的には分かるんですが、これが言える理由を言葉で表せないで困ってます。

なお、私の考えた証明は

t^nは明らかに因数ｔを持つ
ｓ、ｔは互いに素なので t^nは因数s、ｔを持ち、
t^n=s*t*q1　(q1は整数)
と表せる。両辺ｔで割ってt^(n-1)=s*q1
以下同様にして左辺の次数を下げていくと　t=s*q　
これはs≠±1のとき矛盾である

といった具合でした。

回答No.2

alice_38

t と k の最大公約数 g が =t でないとすると、
t/g は s の約数ということになり、
t と s が互素であることに反します。
よって、g=t。すなわち 、k は t で割り切れます。
以上を、n について帰納的に適用すると、
t~n=k, s=1 が導けます。
s=1 となるケースは、t と s が互素と
仮定した時点で除外されていたはずです。
よって矛盾。

回答No.1

Tacosan

厳密にいえば証明することになるんでしょうねぇ. とはいえ, 素因数分解の一意性定理を使えば難しくないけど.