約数

質問

与えられた自然数N=(p＾l)*(q＾m)　□で、l,mは0以上の整数について
(1)Nの正の約数の個数
(2)Nの正の約数の総和

(1)上記の問題の(1)のNの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で

回答はp,Qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか？

例えば２つの整数aとbの最大公約数をGとくと、a=a'G,b=b'Gとおける
a'とb'は素とするとこうな考えをするのでしょうか？

(2)(1)の条件のもとで、(2)を解くと
p/r=a,q/r=bとおくと
N={(ar)＾l}*{br}＾m
＝(a＾l)*(b＾m)*r＾（ｌ+m)
Nの正の約数の総和は
S=((a＾0)+(a＾1)+…(a＾l))
((ｂ＾0)+(b＾1)+…(a＾m))
((r＾0)+(r＾l)+…(r＾(l+m)))
から
{1-a＾(l+1)}/1-a * {1-b＾(m+1)}/1-b *{1-r＾(l+m+1)}/1-r
になることわ分かりません。

回答No.1

thetas

＞(1)上記の問題の(1)のNの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で
＞回答はp,Qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか？

例、(6^4)*(15^3)の約数について、
　６と15の最大公約数は３なので、
　{(2*3)^4}*{(3*5)^3}＝(2^4)*(5^3)*{3^(4+3)}
　とできます。

　一般化して、p/r,q/r を(2)の解答のように、a,bとおくと、
N=(p^l)*(q^m)={(a*r)^l}*{(b*r)^m}=(a^l)*(b^m)*{r^(l+m)}
　とできるからですね。
　まぁ、
＞例えば２つの整数aとbの最大公約数をGとおくと、a=a'G,b=b'Gとおける
　という発想でいいのではないかと思います。

＞Nの正の約数の総和は
＞S=((a＾0)+(a＾1)+…(a＾l))
＞((ｂ＾0)+(b＾1)+…(a＾m))
＞((r＾0)+(r＾l)+…(r＾(l+m)))
＞から
＞{1-a＾(l+1)}/1-a * {1-b＾(m+1)}/1-b *{1-r＾(l+m+1)}/1-r

これは、等比数列の和の公式を使っています。
（現課程の教科書では、数学Ｂにあります）

補足

解説ありがとうございます。
（１）でp,qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数と考えるのが分かりません。
約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)とどのように導くのでしょうか？