約数の和を求める方法

質問

高校数学の内容の、
約数の和を求める方法について質問です。

自然数Pの約数の和には以下のように求められるかと思います。
「Pの約数の和Nは、Pの素因数のそれぞれを階乗ごとに合計し、
和同士を掛け合わせればいい。」
N = (1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
となると思います。
「q2」のように数と文字がくっついてるものの数字の部分は指数です。

で、
なぜこの形で和の合計が求められるのかが、
いまいち理解できないんです。
上記のカッコでくくられた中の数字が、素因数それぞれの階乗の和で、それを全部足すとNを割り切る階乗の形になる数の合計であることは理解できます。
しかし、なぜ掛け合わせると、全部の数の合計になるのか？

ちょっと質問がわかりにくいかもしれませんが、
気になってしまっています。
よろしくお願いします。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

Pの約数はq^i×r^j×s^k（0≦i≦a、0≦j≦b、0≦k≦c）の形の数全体
である。
(1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
を展開すると、q^i×r^j×s^kの形の数が漏れなく、しかも重複なしに
現れる。
つまり、
(1+q+q2+q3+....+qa)からq^i
(1+r+r2+r3+....+rb)からr^j
(1+s+s2+s3+.....+sc)からs^k
を選んでかけ合わせたもの全体の和は、Pの約数全体の和になる。

というか逆に、j,kを固定してi=0,1,2,…,aとしてq^i×r^j×s^kの和を
とると、
(1+q+q2+q3+....+qa)×r^j×s^k
次に、kを固定してj=0,1,2,…,bとして和をとると、
(1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)×s^k
最後にk=0,1,2,…,cとして和をとると、
(1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
となる。
各括弧の中は等比数列なので、もう少しきれいな式にはなります。

お礼

理解できました！
>というか逆に、j,kを固定してi=0,1,2,…,aとしてq^i×r^j×s^kの和を
>とると、
>(1+q+q2+q3+....+qa)×r^j×s^k
>次に、kを固定してj=0,1,2,…,bとして和をとると、
>(1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)×s^k
>最後にk=0,1,2,…,cとして和をとると、
>(1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
>となる。
この説明で納得いきました。
本当にありがとうございます！
すっきりしました！

回答No.3

tarame

具体的な例で考えてみましょう。Ｎ＝60の場合
素因数分解すると(2^2)(3^1)(5^1)となりますから
60の約数は、2,3,5 を使って (2^x)(3^y)(5^z) と表されます
　　たとえば、(2^1)(3^1)(5^0)＝2×3×1＝６
さて、(2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)(5^0+5^1)を展開すると
(1+2+4)(1+3)(1+5)
＝(1+2+4+3+6+12)(1+5)
＝1+2+4+3+6+12+5+10+20+15+30+60　となり
(素因数の累乗の和)の積にすることで
ダブルことなく、すべての約数の和として求めることができるのです。

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、N = (1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
こういう一般化した形の展開でややこしくなっていました。
理解できてから読むと非常にわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

tonsaku

>上記のカッコでくくられた中の数字が、素因数それぞれの階乗の和で、それを全部足すとNを割り切る階乗の形になる数の合計であることは理解できます。

「累乗」ではないでしょうか？

Ｐ＝(q^a)(r^b)(s^c)となっていますね。
当然、q^0,q^1,・・・,q^aはＰの約数です。r,sの累乗に関しても同じです。

しかし、その他の約数（例えばqrとか）もありますよね。
そこで、Ｐの約数ｐを一般的に書くと

　　　　ｐ＝(q^x)(r^y)(s^z)　　
　　　　　　　ただし、x,y,zは、
　　　　　　　　　 ０≦ｘ≦ａ
　　　　　　　　　 ０≦ｙ≦ｂ
　　　　　　　　　 ０≦ｚ≦ｃ　を満たす、独立した任意の数です。

つまり、その総和というのは、上の(x,y,z)にすべてのパターンを入れたものの和です。

ここで、Ｎ＝(q^0+q^1+・・・＋q^a)(r^0+・・・+r^b)(s^0+・・・+s^c) の式を見てください。これを展開する時に出てくる項はすべて、３つの括弧それぞれから一つずつ項を選んでかけたものです。

ということは、展開した式の項はすべてＰの約数になり、さらにすべてのパターンが出てくることが分かると思います。
展開した式は項どうしの和なので、Ｎは約数の総和になります。

お礼

>ここで、Ｎ＝(q^0+q^1+・・・＋q^a)(r^0+・・・+r^b)(s^0+・・・+s^c) の式を見てください。これを展開する時に出てくる項はすべて、３つの括弧それぞれから一つずつ項を選んでかけたものです。

ここで頭がこんがらがってました。
普通に、(x+y)(x-y)=0みたいな式だと、
これですべての数の積が求められることはわかっているのに、
なぜこの説明で理解できなかったのか。。。。

すばらしい解説でした。
ありがとうございました。

回答No.1

hossyou

「上記のカッコでくくられた中の数字が、素因数それぞれの階乗の和で、それを全部足すとNを割り切る階乗の形になる数の合計であることは理解できます。」

なら、説明は簡単ですね。
Nの任意の約数は、ｑとｒとｓの積で表されます。

ｑを０～aまで任意の数
ｒを０～bまで任意の数
ｓを０～cまで任意の数
掛け合わせると、Nの約数になる。（＊）

Nの約数の総和 = (1+q+q2+q3+....+qa)(1+r+r2+r3+....+rb)(1+s+s2+s3+.....+sc)
を展開すれば、（＊）の総和になっていることが分かる。

お礼

またまた理解してから見ると
よくわかります。

ありがとうございました。