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離散数学の問題
離散数学の問題 （書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には _ をつけておきました） 自然数nは n=p_1^e_1*p_2^e_2*...p_r^e_r （p_1<...<p_r,e_1,...,e_r≧0） という形に素因数分解できるとする。 次の問いに答えよ。 nの全ての異なる正の約数の和をσ(n)とする。 例えばσ(8)=1+2+4+8=15です。 このときσ(n)=p_1^e_1+1 -1/p_1-1 *p_2^e_2+1 -1/p_2-1*...p_r^e_r+1 -1/p_r-1 となることを示せ。 上の式で１文字ぶん空けてあるところが所々ありますが、これは指数部分の終わりを示しています。 証明をどのように進めていけばよいかわかりません。 分かる方、助けてください。
- exymezxy09
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- naniwacchi
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こんにちわ。 数式は、空白ではなくきちんと括弧をつけた方がよいです。 σ(n)={ p_1^(e_1+1)- 1 }/(p_1- 1)* { p_2^(e_2+1)- 1 }/(p_2- 1)* ...{ p_r^(e_r+1) -1 }/(p_r- 1) 約数が素因数の「どのような組合せ」になっているかを考えれば、証明が見えてきます。 例として、216の約数の和を示す方法を添付します。
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質問者からのお礼
参考にさせていただきます。 ありがとうございました。