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素因数分解の問題

久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。 二桁の整数nに168をかけると、ある数の二乗になりました。この整数nはいくらになるかという問題です。 168を素因数分解し、n×168=n×2^3×3×7となることは分かります。 これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。 解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、 n=2×3×7×m^2となっていました。 どうしてこのような式なるのですか? A=A^p×b^q×c^rとなっている時、各指数がすべて偶数(2の倍数)なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。

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  • 回答No.3

168⇔2×84⇔2×2×42⇔2×2×2×21⇔2×2×2×3×7 という事は、理解出来ていますよねぇ 上記の一番右に、注目して下さい。 168=2×3×7×2^2と、変形出来ますよねぇ? n=2×3×7×m^2となった場合 {この問題にある条件(二桁の整数)に合致するmの数値は「1」以外には無い事が判かります} となると、求めるべきnは「42」となります。 なお素数の数を偶数個になる様、考える場合は 少なくとも、「2と3と7」それぞれ1個づつは掛けなくてはならない コレは理解出来ますよねぇ。 また上記結果から、2×3×7=42以外に 168に掛けてある数の二乗となる事が出来る、二桁の整数は 存在し得ない事が判かります。 ですので、この問題で求める「n」は 「42」である。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 今更ですが、恥ずかしながら理解できました。 勉強のし直しですね。

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  • 回答No.2

>n=2×3×7×m^2となっていました。 >どうしてこのような式なるのですか?  168nが平方数になるためには 2が3個あるので後1個、3が1個あるので後1個、7も1個あるので後1個 必要なことはよろしいでしょうか。  そうすると n=2×3×7 となりますが、実はこれは 最小となるnの値であって、これだけではありません。  2,3,7が1個ずつだけでなく、素数が偶数個ずつ掛けられていても構わないのです。  この「素数が偶数個ずつ掛けられたもの」はある数の平方数になっていますので、それを m^2 と表し、 n=2×3×7×m^2 としたのです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 今更ですが、恥ずかしながら理解できました。 参考になりました。

  • 回答No.1

ある数をmとして、条件より 168n = m^2 168 = 2^3 * 3 * 7 より、各指数が偶数個になればよいので、n=2*3*7=42,m=84

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 今更ですが、恥ずかしながら理解できました。

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