素因数分解の問題

質問

久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。

二桁の整数ｎに１６８をかけると、ある数の二乗になりました。この整数ｎはいくらになるかという問題です。
１６８を素因数分解し、ｎ×１６８＝ｎ×２＾３×３×７となることは分かります。
これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。

解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、
ｎ＝２×３×７×ｍ＾２となっていました。
どうしてこのような式なるのですか？

A＝A＾p×ｂ＾q×c＾rとなっている時、各指数がすべて偶数（２の倍数）なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。

回答No.3

砲術長（@houjutucho） · ベストアンサー

１６８⇔２×８４⇔２×２×４２⇔２×２×２×２１⇔２×２×２×３×７
という事は、理解出来ていますよねぇ
上記の一番右に、注目して下さい。
１６８＝２×３×７×２＾２と、変形出来ますよねぇ？
ｎ＝２×３×７×ｍ＾２となった場合
｛この問題にある条件（二桁の整数）に合致するｍの数値は「１」以外には無い事が判かります｝
となると、求めるべきｎは「４２」となります。

なお素数の数を偶数個になる様、考える場合は
少なくとも、「２と３と７」それぞれ１個づつは掛けなくてはならない
コレは理解出来ますよねぇ。
また上記結果から、２×３×７＝４２以外に
１６８に掛けてある数の二乗となる事が出来る、二桁の整数は
存在し得ない事が判かります。
ですので、この問題で求める「ｎ」は
「４２」である。

お礼

回答ありがとうございます。
今更ですが、恥ずかしながら理解できました。
勉強のし直しですね。

回答No.2

Mr_Holland

＞ｎ＝２×３×７×ｍ＾２となっていました。
＞どうしてこのような式なるのですか？

　１６８ｎが平方数になるためには　２が3個あるので後1個、３が1個あるので後1個、７も1個あるので後1個　必要なことはよろしいでしょうか。
　そうすると　ｎ＝２×３×７　となりますが、実はこれは　最小となるｎの値であって、これだけではありません。
　２，３，７が1個ずつだけでなく、素数が偶数個ずつ掛けられていても構わないのです。
　この「素数が偶数個ずつ掛けられたもの」はある数の平方数になっていますので、それを　ｍ^2 と表し、　ｎ＝２×３×７×ｍ＾２　としたのです。

お礼

回答ありがとうございます。
今更ですが、恥ずかしながら理解できました。
参考になりました。

回答No.1

happy2bhardcore

ある数をmとして、条件より
168n = m^2

168 = 2^3 * 3 * 7 より、各指数が偶数個になればよいので、n=2*3*7=42,m=84

お礼

回答ありがとうございます。
今更ですが、恥ずかしながら理解できました。