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素因数分解の問題教えて下さい。

ある整数Nを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。 この整数Nの正の約数のうち1の位が1であるものは何個あるか求めよ。 という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが,どのようにしたらよいかわかりません。 答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.2
  • sanori
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こんばんは。 2をかけて1の位が1になる自然数はありません。 5をかけて1の位が1になる自然数もありません。 よって、 M = 3^15 × 7^2 について考えればよいわけです。 幸いなことに、7は2つしかありませんから、7を1つ使うのと2つ使うのとに場合分けすればよいです。 7を1つだけ使うシリーズ 7×3^0 = 7 7×3^1 = 21 7×3^2 = 63 ・・・1の位は3 7×3^3 = の1の位は、3×3=9 だから 9 7×3^4 = の1の位は、9×3=27 だから 7 7×3^5 = の1の位は、7×3=21 だから 1 7×3^6 =  7×3^7 =  7×3^8 =  7×3^9 =  7×3^10 =  ・・・ 7×3^15 =  7を2つだけ使うシリーズ 7^2×3^0 = 49 ・・・1の位は9 7^2×3^1 = の1の位は、9×3=27 だから 7 7^2×3^2 = の1の位は、7×3=1 だから 1 7^2×3^3 = の1の位は、1×3=3 だから 3 7^2×3^4 =  7^2×3^5 =  7^2×3^6 =  7^2×3^7 =  7^2×3^8 =  7^2×3^9 =  7^2×3^10 =  ・・・ 7^2×3^15 =  こんな感じです。 何個置きの周期で1の位に1が出現するかは、わかりますよね。 ご参考になりましたら幸いです。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

No.2の回答者です。 「幸いなことに、7は2つしかありませんから、  7を1つ使うのと2つ使うのとに場合分けすればよいです。」 と回答しましたが、それは間違いでした。 7を1つ使う、2つ使う、1つも使わない の3通りに場合分けが必要です。 失礼しました。

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  • 回答No.3

2はかけてしまうと必ず偶数になるので除外します。 5はかけると必ず5か0になるので除外します。 後は3と7のみですが、3の15乗とかは計算しなくてもいいですよ? 1の位だけ考えればいいので、 まず 3、それに3をかけて 9、それに3をかけると27ですが、必要なのは1の位なので 7、同様に 1、 3、後は上に戻って繰り返し。 結果、 3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7 同様に7では 7,9 これらの組み合わせのうち、1の位が1になるのは 1x1、3x7、9x9だけなので、 3のリストの中に1は3つ、 3は4つ、 9は4つ。 合計11個です コツは問題に必要ない10の位以降を計算しないことです。 大学などで数論という分野をやると出てくる考え方です。

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  • 回答No.1
  • hesaid
  • ベストアンサー率39% (51/130)

2と5を排除して、3^15と7^2の中から組み合わせを探せば良いでしょう。

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質問者からの補足

解答ありがとうございます。 そこまではなんとなく分かるのですが,そのあとの組み合わせはどのように探せばいいのでしょうか。 いろいろ考えたんですが,わからないです。

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