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素因数分解をこの問題でどう使うのか??

問題 「a、b、cは自然数とする。 2^3a×3^2b×5^cで表せる6桁の数があり、その中央の4桁は0736であることがわかっているとき、a,b,cの値を求めよ。」 これは中学生の問題です。私は家庭教師をしているのですが、情けないことにこの問題がわかりません。この問題のテーマは「素因数分解の利用」ということなのですが、どう素因数分解を利用するのかわかりません。 ~私の解法(素因数分解の利用なし)~ 3^2b=9の倍数なので、9の倍数の性質と2×5=10を利用して6桁の数が「207360」とわかったのですが、素因数分解を利用していないので、この解法ではないと思います。そもそも9の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません。 素因数分解を利用する解法がわかる方はぜひ教えて下さい。お願いします。

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  • 回答No.6

  2^(3a)*3^(2b)*5^c = d * 10^5 + 736 * 10 + e とおくと,   736 * 10 = 2^6 * 5 * 23 また,左辺は,   2^(3(a-1)) * 3^(2(b-1)) * 5^(c-1) * 2^3 * 3^2 * 5 a ≧ 1 , b ≧ 1 , c ≧ 1 より,a-1 ≧ 0 , b-1 ≧ 0 , c-1 ≧ 0 より,   e = 0 ∴2^(3(a-1))*3^(2(b-1))*5^(c-1) * 2^3*3^2*5  = d * 10^5 + 2^6 * 5 * 23  = 2^6 * 5 * ((625/2)*d + 23)  ← 2^5でくくるべきだが,3a乗よりOK したがって,d は2の倍数である.d = 2 , 4 , 6 , 8 を代入して,9の倍数になるのは   d = 2 のときだけであり,このとき,((625/2)*d + 23) = 648 = 3^4 * 2^3 よって,a = 3 , b = 2 , c = 1 素因数分解をメインに使ってみましたが,9の倍数の性質を使いたいですね.

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その他の回答 (6)

  • 回答No.7

問題を作る際に「素因数分解の利用」をした ということではないでしょうか? 質問文中の解法が、スマートだと思います。 最後に、207360を素因数分解するのを 忘れずに。

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  • 回答No.5
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

2^3a×3^2b×5^c=(8^a)×(9^b)×(5^c) で6桁の数が8,9,5の倍数であることから 以下の倍数の性質 --------------------------------------------- 9の倍数の性質:各位の数字の和が9の倍数である。 8の倍数の性質:下3桁が8の倍数である。 5の倍数の性質:下1桁が0か5である。 --------------------------------------------- を利用する。 6桁の数は 100000p+7360+q (pは1≦p≦9の正整数,qは0または5) とおける。 上の性質から (1)q=0,p+16=9n,360=8m (1≦p≦9) ⇒ p=2,(n=2,m=45) または (2)q=5,p+21=9n,365=8m (1≦p≦9) ⇒365が8の倍数にならないので不適 したがって,p=2,q=0の場合しか存在しない(これば必要条件です)。 この時、6桁の数は 207360 これを素因数分解すると 207360=(2^9)・(3^4)・(5^1)=(8^3)・(9^2)・(5^1)    =(8^a)・(9^b)・(5^c) 故に a=3,b=2,c=1 こうすれば素因数分解を利用して求めたことになるでしょう。

参考URL:
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/qanda/01-05.html

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  • 回答No.4

問題は6ケタの数が決まった後のa, b, cの値の方ですから、この部分 には素因数分解を使わないと求まらないと思います。立派な素因数分解の 問題でしょう。 ・a, b, cが自然数(即ち0乗はあり得ない)ため、2×5=10が含まれ、 このため6ケタの数は10の倍数、従って1の位は0。 ・3^2bであるため9の倍数の法則が使え、A07360(Aは10万の 位を表す1~9の数字)の各桁の数字を足してA+0+7+3+6+0が 9の倍数になる→A=2。 の2点は、あくまで途中の段階の条件の一つにすぎません。 9の倍数の法則を使わなくても、0736を含む6ケタの数であること から、Aが1~9の自然数にしかならないところまでは十分たどり着きます。 9の倍数の法則は、計算時間を短縮する手法の一つにすぎません (9の倍数の法則が学校の中1数学で習わない範囲であった場合はまだ 習っていない内容を使わないという縛りで点をくれない可能性はあり (塾だったら中学のうちからでも高校・大学レベルの法則を叩き込む ところはいくらでもあるので使えて当たり前位な感覚でしょう))。 この後さらに1番目の条件から、1の位が0なのは分かっているので、 5桁の数A0736で2^(3a-1)×3^2b×5^(c-1)を満たすものを探す 事もできます。この時点での1の位(本来の10の位)が5でないため、 5の倍数はもう含まれていないことになり、c=1はここで求まり、後は 2^(3a-1)×3^2bで5桁の数A0736を素因数分解して・・・という 手順でa, bも順次求められます。

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  • 回答No.3

2^3a×3^2b×5^cは変形すると8^a×9^b×5^cになります。 よって6桁の数は「360の倍数」と言えます。 よって一の位は「0」となります。 後は、十万の位に1~9を当てはめて、360で割り切れる数を探す。 該当する数字が分かったら、それを素因数分解する。 あまりスマートではありませんが、9の倍数の性質を 知らないと仮定すると、このような解き方になると思います。 ただ、早く解くためのコツとして、9の倍数の性質や ・設問の段階で、c=1であることは分かる。 (cが2以上の場合、8の倍数×25の倍数=200の倍数となり、下2桁が"00"になるはず) ・本来は2,3,5で割っていくのが正しいが、a,b,cを求めるだけなら8,9,5で割っていった方が早い。 といったことは、補足として説明してもよいかと思います。

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  • 回答No.2
noname#69883
noname#69883

中央が0736なので5は1個だけ X0763=2^(3a-1)*9^b aが1だとすると X0763は36で割り切れるので 10736~90736を割ってみる なので元の数は207360 これなら素因数分解を使ってるともいえるのでは?

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  • 回答No.1
  • mojitto
  • ベストアンサー率21% (945/4353)

問題は「a,b,cを求めよ」ですから 207360=2^3a×3^2b×5^c の、a,b,cを求めるときに素因数分解を使えばいいと思います。 (「207360」だけでは、まだ問題は解けていません) とはいえ、単純に素因数分解するのではなく、8,9,5で分解したほうが手っ取り早くa,b,cが求まりそうですね。 >そもそも9の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません そうですね。僕も同感です。 ただ、数的な直感から9の倍数の性質に気づけるかどうかが、問題の狙いなのかもしれませんね。

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