素因数分解の問題

質問

「１から３０までのすべての自然数の積をＸとすると、Ｘの末尾には０がいくつ並ぶことになるか。なお、Ｘは２９以下のすべての素数の積、Ｘ＝2a×3b×5c×7d・・・×29で表される。」という問題があります。解説の、「１０を素因数分解すると２×５であるから、末尾に並ぶ０の個数ｎは、Ｘのすべての素数の積
Ｘ＝2a×3b×5c×7d・・・×29
において、aとcの内大きくない方である。」という記述が理解できません。どなたか教えてくださいませんか？

回答No.1

a103net · ベストアンサー

掛け合わせる数の中に
２と５が１つずつあると２×５で１０ができて、
積の末尾に０が１つ付きます。
（１０倍すると０が付くのと同じです）
２か５どちらかをかけただけでは０は付きません。
ですから、２と５の数の内少ない方の数だけ０が付きます。

２と５の数は30までの各数について
素因数分解をして２と５が出そうなものを見つけましょう。

回答No.3

gamasan

んと　積の末尾の０の数というのは　10がその中に
何個あるかで決まるよね？
となると
３０以下の素数を使った積の式
Ｘ＝2a×3b×5c×7d・・・×29
これで表せるのは理解できたんでしょ？
じゃ　この中から10は何個できるか？
そうなれば　10を素因数分解すれば　2と5
数によるから
そのうち少ない方の数しか　10は作れないということになる

わかった？

回答No.2

stomachman

Xを素因数分解すると
Ｘ=(2^a)(3^b)(5^c)(7^d)…(29^1)
となる。ここでx^yは「xのy乗」の意味です。
Ｘ=(2^a)(5^c)[(3^b)(7^d)…(29^1)]
と並べ替えてみると、[　]の中身は2の倍数でも５の倍数でもないから、10の倍数ではない。つまり
Ｘ=(2^a)(5^c)[10の倍数じゃないもの]
である。
a>cの場合、n=cとなり
X=(2^n)(2^(a-c))(5^n)[10の倍数じゃないもの]
=(10^n)(2^(a-n))[10の倍数じゃないもの]
で、(2^(a-n))もまた10の倍数ではない。だから、
X=(10^n)[また別の、10の倍数じゃないもの]
である。
ところで、10進数で表したとき、10の倍数は必ず最後の桁が0ですし、また最後の桁が0である数は必ず10の倍数である。だから[また別の、10の倍数じゃないもの]の部分は10進数で書くと、最後の桁が0ではない。
つまり、Xを十進数で書くと0がn個並ぶ。
a≦cの場合も同様です。

だから最初の問題を解くには、1～30の自然数について、素因数2と素因数5がそれぞれ全部でいくつ含まれるかを数えてみれば良い。