• ベストアンサー
  • 困ってます

100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、

100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7…となる。a,b,cの値を求めよ。 という数A 整数の問題です。 画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか?重複しないのですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数211
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

素因数分解をした際に、2が含まれるのは偶数だけですから偶数を2,4,6,8,10,…90,92,94,96,98,100まで並べて、次ぎ次ぎに2で割っていくことを考えます。 2で割れなくなったら(商が奇数になったらそこで終わります) そうすると下のようになります。最初は偶数だから当然全部割れて、この段階で2が50個ありました。次に割る際には、1つおきにしか割れません(2^2=4の倍数)のでこの段階で2が25個得られます。次に2で割るとさらに一つおき(2^3 =8の倍数)にしか割れないので2が12個得られます。以下この操作を繰り返すと、最後まで残るのは64(=2^6)で6回割れます。 ここまでわかれば後は、下の図で右端の2の個数をたてにすべて加えれば2が97個得られることがわかります。つまり100!を素因数分解すると2^97が含まれることがわかります。あとは3,5について同様に計算するだけです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 素因数分解の問題

    久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。 二桁の整数nに168をかけると、ある数の二乗になりました。この整数nはいくらになるかという問題です。 168を素因数分解し、n×168=n×2^3×3×7となることは分かります。 これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。 解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、 n=2×3×7×m^2となっていました。 どうしてこのような式なるのですか? A=A^p×b^q×c^rとなっている時、各指数がすべて偶数(2の倍数)なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。

  • 素因数分解でわからない問題があります。教えていただ

    けますでしょうか。 勉強していて、下記の問題がどうしてもわかりません。 解答はついているのですが、考え方がわかりません。 教えていただけないでしょうか? 問い 56にできるだけ小さい自然数をかけて、ある整数の二乗にしたい。どんな数をかければよいか? 素因数分解はできるのですが(2の3乗X7)、その後の考え方がわかりません。 ちなみに答えは2X7=14 です。 解説に、56=2の3乗x7=2の2乗x(2x7) よって、2x7=14とありますが、 この解説がまったく理解できません。 2x7=14が何を意味するのかがわかりません。 どう考えればよいのでしょうか? 同じく 360を自然数でわって、ある整数の2乗にしたい。どんな数でわればよいか? という問いも、素因数分解から先の考え方がわからず、解けません。 (答え10,40,90,360)。 どなたか 解き方(考え方)を教えていただけますでしょうか。

  • 素因数分解をこの問題でどう使うのか??

    問題 「a、b、cは自然数とする。 2^3a×3^2b×5^cで表せる6桁の数があり、その中央の4桁は0736であることがわかっているとき、a,b,cの値を求めよ。」 これは中学生の問題です。私は家庭教師をしているのですが、情けないことにこの問題がわかりません。この問題のテーマは「素因数分解の利用」ということなのですが、どう素因数分解を利用するのかわかりません。 ~私の解法(素因数分解の利用なし)~ 3^2b=9の倍数なので、9の倍数の性質と2×5=10を利用して6桁の数が「207360」とわかったのですが、素因数分解を利用していないので、この解法ではないと思います。そもそも9の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません。 素因数分解を利用する解法がわかる方はぜひ教えて下さい。お願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

>…画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか?重複しないのですか? 100!= 1*2*3*4* … *98*100 なので、100!の素因数分解の結果を知るには、左辺各数の素因数分解を想定して、各素数の累乗ごとに、その出現個数を網羅・累計せねばなりません。 添付図面では、1 から 100 までの各数について「素因数の累乗ごとに、その出現個数を網羅探索 (exhaust search) 」している。 たとえば 2^3 なら、「2 の倍数」で 1 回、「2^2 の倍数」で 1 回、「2^3 の倍数」で 1 回、計 3 回カウントしており、過不足なしの「探索」になっている。   

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

要は、例えば100!が2で何回割れるかを調べたい訳ですが: 今、正整数nが2で割り切れる回数をφ(n)とします。つまり、φ(1) = 0, φ(2) = 1, φ(3) = 0, φ(4) = 2, φ(5) = 0, φ(6) = 1, φ(7) = 0, φ(8) = 3, .... とします。この時、φ(100!) = Σ[1≦n≦100] φ(n)となるのはいいですか?つまり、100!は1から100までの積ですから、1から100までのそれぞれの整数nが2で割り切れる回数の合計が、100! が 2で割り切れる回数になります。ここまではいいでしょう。 で、問題にある通り、100以下の整数nに関しては、φ(n)≦6であることから、今100以下でφ(n) = kとなるnの数をg(k)としますと、 φ(100!) = Σ[1≦n≦100] φ(n) = Σ[ 1≦k≦ 6] k * g(k) ( = 1 * g(1) + 2 * g(2) + 3 * g(3) + 4 * g(4) + 5 * g(5) + 6 * g(6) ) となります。 で、各kに対し、100以下でφ(n) = kとなる正整数nの数 g(k)はいくつか?が分かればよい。で、例えばφ(n) = 1、つまり 100以下の整数で、2で「ちょうど」1回割り切れる整数は何かを考えると、これは 『2^1 = 2では割り切れるが、 2^2 = 4では割り切れない』整数 <===== ここの考え を考えればよい。つまり、2の倍数ではあるが、4の倍数ではない整数nが、φ(n) = 1となります。で、実数xの整数部分(つまり小数部分を切り捨てたもの)を[x]と書くと、従って g(1) は100以下の2の倍数の数から4の倍数の数を引いたもの、つまり g(1) = [100 / 2] - [ 100 / 4] となります。 同様に、一般に 100以下で、φ(n) = kとなる整数 n、つまり2^nでは割り切れるが2^{n+1}では割り切れない整数の数 g(k) は、g(k) = [ 100 / (2^k) ] - [ 100 / (2^(k+1) ] です。 従って、 φ(100!) = Σ[1≦n≦100] φ(n) = Σ[ 1≦k≦ 6] k * g(k) = Σ[ 1≦k≦ 6] k * { [ 100 / (2^k) ] - [ 100 / (2^(k+1)) ] } ですが、一番最後の式をうまく変形すれば、これは Σ[ 1≦k≦ 6] k * { [ 100 / (2^k) ] - [ 100 / (2^(k+1)) ] } = Σ[ 1≦k≦ 6] k * [ 100 / (2^k) ] - Σ[ 1≦k≦ 6] k * [ 100 / (2^(k+1)) ] = Σ[ 1≦k≦ 6] k * [ 100 / (2^k) ] - Σ[ 2≦k≦ 7] (k-1) * [ 100 / (2^k) ] <==== この式変形に注意 = Σ[ 1≦k≦ 6] k * [ 100 / (2^k) ] - Σ[ 1≦k≦ 6] (k-1) * [ 100 / (2^k) ] - (7-1) * [ 100 / (2^7)] <===== k=1の時k-1=0だから、後のΣはk=1から初めて良い。 後、k=7の場合を分離 = Σ[ 1≦k≦ 6] (k-(k-1)) * [ 100 / (2^k) ] <====== [ 100 / (2^7)] = 0に注意 = Σ[ 1≦k≦ 6] [ 100 / (2^k) ] となって、見事解説と同じ式になります。 で、ここまでかなり丁寧に記しましたが、質問の「重複しないのですか? 」という問に対しては、 <===== ここの考え という所と <==== この式変形に注意 という所を見てみると、実は解説の方法でその「重複することをうまく利用している」ということが分ります。 つまり、最初の方の式に戻って、 φ(100!) = Σ[1≦n≦100] φ(n) = Σ[ 1≦k≦ 6] k * g(k) という式を考えると、解説の方法では、例えば φ(n) = 3、つまり2で ちょうど3回割り切れる数は、「2の倍数」「4の倍数」「8の倍数」でちょうど「3回、1足される」ので、つじつまがあっているのです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 2通りの素因数分解

    素因数分解は一意に決まると学びましたが、大学時代にある数は2通りの素因数分解が出来ると聞いたような気がします。 私の記憶違いなのでしょうか?そんな数はあるのでしょうか?

  • 素因数分解について

     ものすごく大きな素数二つを掛け合わせた数を素因数分解することは難しい、というようなことを本で読みました。 これって暗号を作ることにも利用されているみたいですが、どうしてこの数を素因数分解することが難しいのでしょうか?

  • 1111111の素因数分解

    1111111という1が並ぶ数の中でも少ない桁数のものが、4649(よろしく)で割り切れることを知り、大変興味深く感じました。そこで1111111=239×4649という素因数分解を工夫してできないかを考えています。イメージ的には、例えば9991の素因数分解なら100^2-3^2と変形することで因数分解公式から103×97と分解できる、という具合です。何卒お知恵拝借いただきたく存じます。

  • 素因数分解

    1、 216を出来るだけ小さい自然数でわって、ある整数の2乗になるようにしたい。どんな自然数でわればよいですか? 2、 504に出来るだけ小さい自然数をかけて、ある整数の2乗になるようにしたい。どんな自然数をかければよいですか? この問題を素因数分解を使って解くようなのですが、、、、、 わかる方いましたら教えてください。 よろしくお願いします。

  • 素因数分解について

    多分、すごく初歩的な質問だと思いますが、次のことは正しいですか? 1と素数以外の整数は、すべて素因数分解できる。 よろしくお願いします。

  • 素因数分解の問題教えて下さい。

    ある整数Nを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。 この整数Nの正の約数のうち1の位が1であるものは何個あるか求めよ。 という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが,どのようにしたらよいかわかりません。 答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。 よろしくお願いします。

  • 素因数分解について

    X=√4,840,000 を素因数分解?? で解く場合、100*2*11=2,200 となると思いますが、素数の100を1000にしては駄目ですか? そもそも、素因数分解のルールが理解出来ていません。 素因数分解の簡単なやり方を分かり易く教えて下さる方、宜しくお願いいたします。 因数分解は方程式なので、取っ付きにくいイメージがあります。

  • 素因数分解ができない?

    123、205の最大公約数はいくつでしょう? 素因数分解をして求めたいのですが、 123は3で割って41 3* 205は5で割って41 5* となるのでしょうか? その後の素因数分解が続きません。 すいませんが、教えてください。 よろしくお願いします。

  • 1を素因数分解しなさい

    数学的には例外(素因数分解できない)は作りたくないのですが…。 でも、「1」の素因数分解と言われたら、答はどうなるのでしょう。

  • 素因数分解

    X4乗+4を素因数分解してください。また文字のついているものを素因数分解する方法を教えてください。