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素因数分解の問題で…

素因数分解の問題で… 中学3年の姪っ子に数学を教えています。 市販の問題集で、解説と回答を見てもどうしても分からない問題があるんです。 〈素因数分解の問題〉 Aは100より小さい自然数で、Aに54をかけると自然数の2乗になるという。このような自然数Aは全部で何個あるか。 〈解答・解説〉 54=2×3の3乗=6×3の2乗だから、A=6×Nの2乗の形になればよい。 A〈100だから、 N=1のとき、A=6 N=2のとき、A=24 N=3のとき、A=54 N=4のとき、A=96 したがって、Aは4個 と参考書には記載されています。 解説の「A=6×Nの2乗の形になればよい。」という理屈が分かりません。 姪っ子に教えられなくて困っています…。 どなたか分かりやすく解説して頂けないでしょうか? よろしくお願い致します!

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54=6×3の2乗ですね。 A×54が自然数の二乗になるということはA×54を素因数分解したときに同じ素数が偶数ずつ含まれればいいのです。 例…144の場合   144=2の4乗×3の2乗=(2×2×3)×(2×2×3)=12×12=12の2乗 A×54の54には3は2つ含まれていますが6(=2×3)は1つしかありません。この6を2つにするためにAに6が含まれる必要があります。そうすれば A=6とすると 6×54=(3×6)×(3×6)=18の2乗 ただ、条件でA<100なのでこれだけでは少ないです。だから、AにN(Nは自然数)の2乗を入れていけば良いのです。← (18×N)×(18×N)になり(18×N)の2乗になるから よってA=6×Nの2乗 になります。 分かりにくい説明で申し訳ございません。

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質問者からのお礼

素人の私でも非常に分かりやすい回答を頂き、ありがとうございました! おかげさまで姪っ子に教えることが出来ました。 2乗にするためには、同じ素因数が偶数個なければならないということに気がつくことが出来ました。 本当に助かりました^^

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 ある数の2乗 = 54×何か = 2×3×3×3×何か いちばん簡単なのは、 ある数 = 54×何か にしちゃって、 ある数の2乗 = (2×3×3×3×何か) × (2×3×3×3×何か) です。 ですけど、最初から3が2個あるので、もっと小さく ある数の2乗 = (2×3×何か) × (3×3) × (2×3×何か) にしても2乗になるので、これで済んじゃうわけです。   ↑(ここがポイントです。3を3個くくっても無意味で、2個だけくくるのです) これは、 ある数の2乗 = {(2×3×何か) × (3×3)} × (2×3×何か) とも書けますが、そもそも 2×3×3×3=54 なので、結局、 ある数の2乗 = {54×何か} × (2×3×何か) ある数の2乗 = 54 × (2×3×何か×何か) ある数の2乗 = 54 × (6×何か×何か) ある数の2乗 = 54 × (6×何かの2乗) と書けます。 ここで、 何か=1、何か=2、・・・ とあてはめればよいです。

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質問者からのお礼

ひとつひとつ丁寧な式を書いて下さり、ありがとうございました。 大変分かりやすく、おかげさまで姪っ子に教えることができました。 本当に助かりました^^

  • 回答No.1

B 自然数 54×A = B×B  左辺を素因数分解した時、同じ素因数が偶数個なければならない。そうでないと、Bが正数であることと矛盾する。  左辺の素因数は、2,3,3,3、だから、左辺が同じ素因数を偶数個含むためには、Aの素因数に、2が一つに3が一つ含まれなければならない。それを式で表せば、A = 2×3×N

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質問者からのお礼

2乗にするためには同じ素因数が偶数個必要だということに気づくことが出来ました。 簡潔なご回答を頂き分かりやすかったです。 本当にありがとうございました。

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