7の倍数であることを示す

質問

N＝2^131＋192とする。
(1)正の整数ｎに対し、2^(3n)－１は７の倍数であることを示せ。
(2)Nは224の倍数であることを示せ。
(3)Nは何桁の数か。
(4)Nを224で割った商は何桁の数か。log10 2=0.3010

この問題を解いているのですが、(1)は（2^3)^nー１＝8^nー１としてみたのですがこれでは７の倍数であることになっていなく手詰まりしてしまいました。(2)は２２４＝2^5＊７と素因数分解してみたり、Nの式中の１９２を２２４から引くと2^5なったりすることがわかったのですが、示すことができませんでした。
回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします

回答No.2

yoikagari · ベストアンサー

(1)
二項定理を用います。
8^n=(1+7)^n=1+7*n+7^2*{n(n-1)/2}+・・・+7^n
ですから
8^n-1=7*n+7^2*{n(n-1)/2}+・・・+7^n
となります。
7*n,7^2*{n(n-1)/2},・・・,7^nは7で割り切れるから8^n-1も7で割り切れます。

(2)
2^131+224=2^5(2^126-1)+2^5*7
126は3で割り切れますから
(1)から2^126-1は7で割り切れます。
ですから
2^5(2^126-1)+2^5*7=2^5*7*(整数)+2^5*7=2^5*7*(整数)=224*(整数)
と言った感じで示せると思います。

(3)
2^131＜N＜2^132ですよね
この式の両辺の底10の対数をとって見ましょう
131*log2＜N＜132*log2
あとは
m-1≦logN＜mならばNはm桁と言う性質を使います。
(わかりやすいように、logの底10は省略してあります)

(4)
(3)と同様にして出来ます。
N/224=(2^126+6)/7
(2^126+6)/7＞2^126/8=2^123
(2^126+6)/7＜(2^126+2^126)/4=2^125
よって
2^123＜N/224＜2^125
あとは(3)と同様に両辺を底10の対数をとる
123*log2＜N＜125*log2
と言った方針で、(3)と同様に出来ます。

それでは頑張ってください。

回答No.4

yoikagari

(3)、(4)番の解答の訂正
「
(3)
2^131＜N＜2^132ですよね
この式の両辺の底10の対数をとって見ましょう
131*log2＜logN＜132*log2
あとは
m-1≦logN＜mならばNはm桁と言う性質を使います。
(わかりやすいように、logの底10は省略してあります)

(4)
(3)と同様にして出来ます。
N/224=(2^126+6)/7
(2^126+6)/7＞2^126/8=2^126/2^3=2^123
(2^126+6)/7＜(2^126+2^126)/4=2^127/2^2=2^125
よって
2^123＜N/224＜2^125
あとは(3)と同様に両辺を底10の対数をとる
123*log2＜log(N/224)＜125*log2
と言った方針で、(3)と同様に出来ます。
」
です。お騒がせしました。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。
(2)の変形がとてもよくわかりました

回答No.3

debut

(1)
2^(3n)-1=8^n-1^n
=(8-1){8^(n-1)+8^(n-2)+・・・・・+8+1}
=7×{8^(n-1)+8^(n-2)+・・・・・+8+1}
(2)
192=2^6×3なので、N=2^5×(2^126+6)=2^5×{2^(3×42)-1+7}
ここで、(1)のことから　2^(3×42)-1 は 7k とおけるので、
N=2^5×7×(k+1)
(3)
N=2^6×(2^125+3)
両辺の対数(底の10は省略)をとると、
logN=log2^6+log(2^125+3)=6log2+log(2^125+3)・・・☆
ここで、log2^125=125log2=37.625、log2^126=126log2=37.926であり
log2^125＜log(2^125+3)＜log2^126を考えれば、☆式から（6log2=1.806)
1.806+37.625＜logN＜1.806+37.926→39.431＜logN＜39.732
(4)
(2)の最後の式　N=2^5×7×(k+1)　で k+1={2^(3×42)-1}/7+1=(2^126+6)/7
の桁数を調べればよいと思いますが・・・
(2^125)/8＜(2^125+6)/8＜(2^125+6)/7で(2^125)/8=2^122だから
log2^122=36.772と下は決まるけど上が微妙？？

回答No.1

Ichitsubo

(1)一般に自然数m,nに対して、m^n-1はm-1の倍数であることが証明されます。
n=1のとき自明。
n=kのとき
　m^k-1
＝m^(k-1)*m-1
＝m^(k-1)*(m-1)+m^(k-1)*1
よってすべての自然数nについて成り立つことが証明される。

(2)224を素因数分解したのは有意義です。
(2^5)*7の倍数であることを示せばよいのです。
192=(2^6)*3なので
　2^131+192
＝(2^5)*(2^126+6)
＝(2^5)*(2^126-1+7)
ここで(2^3n)-1は7の倍数であるので2^126-1=7xとおくと
＝(2^5)*(7x+7)
＝(2^5)*7(x+1)
＝224(x+1)
以上のように示されます。

(3)これはlogを用いましょう。
log7やlog3の値も与えられていませんか？