整数nにおける2n^3+3n^2+nの性質を証明する方法
- 整数nにおいて、2n^3+3n^2+nは6の倍数であることを証明する方法を説明します。
- 教科書によると、2n^3+3n^2+nを因数分解し、2の倍数かつ3の倍数であることを証明すればよいとされています。
- そのため、整数nを3で割った余りによって場合分けし、n=3k、n=3k+1、n=3k+2の3つの場合について証明を行います。
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nが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せ
nが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せよ。 上の解き方は,n(n+1)(2n+1)に因数分解し, 2の倍数かつ3の倍数であることを証明すればよいと思うのですが, 教科書には, 2の倍数であるというのは,n(n+1)が連続する2つの整数の積だから証明でき, 3の倍数であるというのは, kを整数として n=3kのとき,n=3k+1のとき,n=3k+2のときに3×○の形にすれば証明できるとありました。 ここで質問なのですが, なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか？ n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか？
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こんばんわ。 ＞n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか？ 「なぜ」の前に、具体的に代入してみましたか？ n＝ kだと、nが kに置き換わるだけで 3の倍数かどうかは示すことができませんよね。 ＞なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか？ 自然数を 3で割ったあまりは 0 or 1 or 2のいずれかですから、 n＝ 3k, 3k+1, 3k+2と書けばすべての自然数を網羅することができますね。 もしこれが「5の倍数」であれば、 n＝ 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4という場合分けを考えることになります。 「あまり」に対する場合分けをすることで考えやすくなるという、比較的よく使われる手法ですね。
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- Tacosan
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n=k, k+1, k+2 だと何も示せないと思う. 余談ですが, 他にもいろいろな示し方がありますね. 例えば 1. 2n^3+3n^2+n = 6Σ(k=1～n)k^2. 2. n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n-1).
- gohtraw
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n=３ｋ、３ｋ＋１、３ｋ＋２という場合分けをすることによりｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）に代入して展開したときの定数項以外はすべて３の倍数になり、定数項だけ見れば判断できるためです。
- naniwacchi
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#1です。 少し補足しておきます。 もう 1つ別の場合分けの方法があります。 それは、いきなり 6で割ったあまりで場合分けする方法です。 場合分けの分け方だけでも、一度考えてみてください。＾＾
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