倍数の証明問題

質問

ｍ、ｎを1より大きい異なる整数とする時、m^3*n-m*n^3は6の倍数であることを証明せよ．

m^3*n-m*n^3
=mn(m+n)(m-n)

6の倍数なので、三つの連続する整数であることを使うのかと思ったのですが、ちょっと出来そうにありません。
この問題はどうやって証明するのでしょうか？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

ONEONE · ベストアンサー

＜１＞
ちょっとトリッキーだけど
m^3n-mn^3
＝m^3n-mn+mn-mn^3
＝n(m^3-m)-m(n^3-n)
＝n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)
と変形できます。
(m-1)m(m+1)は3つの連続した整数の積です。
なので、その積は6の倍数になります。
(n-1)n(n+ 1)も同様です。
よって、m^3n-mn^3は6の倍数となります。

＜２＞
○まず２で割り切れるかどうかを調べます。

ｍまたはｎが偶数ならばこの式は当然２で割り切れます。
ｍとｎ両方が奇数の時は（ｍ＋ｎ）が偶数になるので
したがってｍ、ｎの値によらず２で割り切れます。

○次に3で割り切れるかどうか調べます。

ｍまたはｎが３の倍数ならばこの式は３で割り切れる。
どちらも３の倍数でない場合、
ｍ＝３a＋１、ｎ＝３b＋１またはｍ＝３a＋２、ｎ＝３b＋２のときは
（ｍ－ｎ）が３で割り切れ、
ｍ＝３a＋１、ｎ＝３b＋２またはｍ＝３a＋２、ｎ＝３b＋１のときは
（ｍ＋ｎ）が３で割り切れる。
したがってｍ、ｎの値によらず３で割り切れる。
２と３の両方で割り切れるので、６で割り切れる。

お礼

＞m^3n-mn^3
＝m^3n-mn+mn-mn^3
＝n(m^3-m)-m(n^3-n)
＝n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)
と変形できます。

というふうにもできるんですかー。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

回答No.1

fushigichan

stripeさん、こんにちは。

＞ｍ、ｎを1より大きい異なる整数とする時、m^3*n-m*n^3は6の倍数であることを証明せよ．

m^3*n-m*n^3
=mn(m+n)(m-n)

＞6の倍数なので、三つの連続する整数であることを使うのかと思ったのですが

考え方としては、非常にいいと思うんですよ。
いきなり６の倍数は、３連続整数くらいじゃないといえないので
２の倍数であって、かつ、３の倍数である、ということを言えばいいと思います。

まず、mn(m+n)(m-n) が２の倍数であることを証明する。

m,nのどちらかが２の倍数なら、mnの部分が２の倍数になるので
m=2k+1
n+2l+1
の場合を考えるので充分である。このとき、

m+n=(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)
となって２の倍数になる。
なので、m,nがどんな整数でも、mn(m+n)(m-n) は２の倍数・・・(1)

次に、３の倍数であることを証明する。
m,nのいずれかが３の倍数ならば、mnが３の倍数なのでこのときは証明いらない。

1)m=3k+1
n=3l+1のとき
m-n=3(k-l)となるので、m-nが３の倍数であるから
mn(m+n)(m-n)
もまた３の倍数である。

2)m=3k+2
n=3l+1のとき
m+n=3k+2+3l+1=3(k+m+1)
となるので、mn(m+n)(m-n)
は３の倍数

3)m=3k+1
n=3l+2

4)m=3k+2
n=3l+2

の場合も、同様に考えてみましょう。
1)～4)いずれの場合にも
mn(m+n)(m-n)
は３の倍数であることがいえます・・・(2)

よって、(1)(2)より、
mn(m+n)(m-n)
は６の倍数である、ということが証明されました。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞２の倍数であって、かつ、３の倍数である、ということを言えばいいと思います。

という方針でいくんですかー。
よくわかりました(＾＾)
参考にさせていただきます。