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因数分解の証明

m,nが奇数のとき、(m^2)-(n^2) は8で割り切れることを証明するには m=2α+1 n=2β+1 (α、βは整数とおくと) (m^2)-(n^2)=(m+n)(m-n) m+n=2(α+β+1) m-n=2(α-β) (m^2)-(n^2)=4(α+β+1)(α-β) までは考えたのですが α、βが奇数のとき 例えばα=3,β=1のとき 40になります α、βが偶数のとき 例えば、α=4、β=2のとき 48になって 8の倍数ということが証明できるで合ってますか?

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みんなの回答

  • 回答No.3

αが奇数でβが偶数のときなどが検討されていないので証明は完成していないと思います。 (α+β+1)(α-β)を変形して、 (α+β+1)(α+β-2β) =(α+β+1)(α+β)+(α+β+1)(-2β) となり、(α+β+1)と(α+β)はどちらかが2の倍数ですから、 2の倍数+2の倍数ということになり、 (α+β+1)(α-β)は2の倍数と言えます。 従って、4(α+β+1)(α-β)は8の倍数と言えます。 数学的な証明として美しい表現にするにはどうしたらいいのかはよくわかりませんが。

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質問者からの補足

(1)αが奇数,βが奇数⇒α+β+1が奇数,α-βが偶数   (2)αが奇数,βが偶数⇒α+β+1が偶数,α-βが奇数   (3)αが偶数,βが奇数⇒α+β+1が偶数,α-βが奇数   (4)αが偶数,βが偶数⇒α+β+1が奇数,α-βが偶数 となり,(α+β+1)(α-β)は偶数です. よって、8の倍数といえる これでも合ってますか?

  • 回答No.2

まず、mが奇数のときm^2=8×(整数)+1となることを言います。 mは奇数のとき、m=2k+1と書けます m^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1 kが偶数のときk(k+1)は偶数 kが奇数のとき、k+1は偶数だから、やはりk(k+1)も偶数 よってkが偶数でも奇数でもk(k+1)は偶数です。 よって、k(k+1)はhを整数として、k(k+1)=2hと書くことが出来ます。 したがって、m^2=4k(k+1)+1=8h+1となります。 よって、mが奇数のときm^2=8×(整数)+1となることが言えました。 奇数nに関しても、同様に考えて n^2=4s(s+1)+1=8t+1とすることが出来ます。 (ただし、s,tは整数とする)。 したがって、 m^2-n^2=8h+1-(8t+1)=8(h-t)となるので、m,nが奇数のとき、m^2-n^2は8で割り切れることがいえました。

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  • 回答No.1

成り立たないことを証明するときは反例を1つ挙げればよいのですが、成り立つことを証明するときは例をいくつ挙げても証明にはなりません。 α,βは整数なのですから、 α-βが偶数ならばα+β+1は奇数ですし、 α-βが奇数ならばα+β+1は偶数です。 したがって、 4(α+β+1)(α-β)=8k (kは整数) と置き換えることができます。

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