数学I 命題の証明問題

質問

問題：nは整数とする。次の命題を証明せよ。
　　　n^2が3の倍数ならば、nは３の倍数である。

宿題なのですが、答えが省略されていてわかりません💦
どなたかご教授くださいm(__)m

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

一例です　
n^2が3の倍数ならば、nは３の倍数でないと仮定すると
n＝3k+1…①
または
n＝3k+2…②
①のとき
n²＝(3k+1)²＝3(3k²+2k)+1
②のとき
n²＝(3k+2)²＝3(3k²+4k+1)+1
いづれの場合もn²は3の倍数ではないので
これは矛盾
その原因は、nは3の倍数でないと仮定したことにあるから、(背理法で)
nは3の倍数である

お礼

とても助かりました。
ありがとうございます。

回答No.3

f272

> ごめんなさい、わからないです💦

n=3m±1ならばn^2=(3m±1)^2=3(3m^2±2m)+1
がそのまま答えになっているんだけどなあ。
nが３の倍数でなければn=3m+1またはn=3m-1と表せる
するとn^2=3(3m^2+2m)+1またはn^2=3(3m^2-2m)+1になる。(計算してね)
これはn^2が(3の倍数)+1となっていて３の倍数ではないことを意味する。
元の命題の対偶が証明できたので，元も命題も真である。

要するに
(A) n=3m-1のときn^2=3(3m^2-2m)+1
(B) n=3mのときn^2=3(3m^2)
(C) n=3m+1のときn^2=3(3m^2+2m)+1
の3パターンですべての場合を尽くしていて，n^2が3の倍数というのは(B)パターンのことでnが3の倍数になっている。

お礼

何度もありがとうございます！！

回答No.1

f272

対偶を考えて
「nが３の倍数でなければ，n^2は3の倍数でない」
という命題なら証明できますか？
n=3m±1ならばn^2=(3m±1)^2=3(3m^2±2m)+1

お礼

ご回答ありがとうございましたm(__)m

補足

ごめんなさい、わからないです💦