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整数の問題(高1)の質問
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「連続した4つの整数」は、一般に n(n+1)(n+2)(n+3) と記述します。 で、n=4m,4m+1,4m+2,4m+3とおいて、全ての「連続した...」が、8の倍数であることを証明します。それから、n=3l,3l+1,3l+2とおいて、同様に全ての「連続した...」が、3の倍数であることを証明します。これらより、全ての「連続した...」が、8の倍数かつ3の倍数であることから、24の倍数であることがいえます。 >n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6n これは、n=1のとき成り立たないので、絶対、間違っています。(n-1)n(n+1)+6nです。6nは、6の倍数なので、前の項が、6の倍数であることがいえればいいでしょう。(明らかですが...) もっとスマートな方法があるような気もします。
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- i536
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失礼しました、回答がまちがい12の倍数の証明になっていました。 下記でどうでしょうか? 1.連続する4つの整数は、4の倍数、3の倍数をすくなくとも1個含む。 4つの整数から、4の倍数、3の倍数をそれぞれ1個除いた、のこりの2つの整数のうち1つは偶数である。 したがって連続する4つの整数は24の倍数である。
お礼
あ、なるほど!わかりました。ありがとうございました。
- Mell-Lily
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(1) 連続した4つの整数には、2の倍数が2つ、3の倍数が1つ、4の倍数が1つ、必ず入っています。2つの2の倍数ののうち、一方は、4の倍数ですから、その積は、2×4×3=24の倍数になっています。 (2) NO1の方の解き方でいいでしょう。 n^3+5n=n^3+(-n+n)+5n=(n-1)n(n+1)+6n
お礼
(2)は僕が計算ミスをしていただけみたいですね笑 ありがとうございました。
- i536
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ほかにもっといい方法があるかもしれませんが・・・ 1.連続する4つの整数のうち、最小の偶数を2mとおくと、 その積は、2m(2m+1)(2m+2)(2m+3)あるいは(2m-1)2m(2m+1)(2m+2)となります。 どちらも、3の倍数をすくなくとも1個と、偶数2個{2m,2m+2}を含みます。 2.n^3+5n=n(n^2+5)=n(n^2-1+6)=(n-1)n(n+1) + 6n、 連続する3つの整数の積は6の倍数、6nも6の倍数なので、全体も6の倍数です。
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早急のご回答ありがとうございました。