連続したn個の整数の積

質問

ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることがわからないので質問します。問題は、
整数a,bを係数とする２次式f(x)=x^2+ax+bを考える。f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
(1)αは整数である。(2)任意の整数lと任意の自然数nに対して、n個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。

(1)α=m/n(m,nは互いに素な整数)とおくと条件より　(m/n)^2+a(m/n)+b=0,
m^2/n=-(am+bn) m^2はnで割り切れるが,m,nは互いに素だから n=±1しかない。ゆえにα=±mとなり、αは整数である。

(2)f(α)=0だから、f(x)=x^2+ax+b=0となる2次方程式は、x=αなる解をもつ。ほかの解をβとすれば、解と係数の関係からα+β=-a,β=-a-αよりβも整数である。ゆえにf(x)はこの２整数α,βを用いて、f(x)=(x-α)(x-β)と因数分解できる。したがってf(l)=(l-α)(l-β)となりf(l)はl-αで割り切れる。同様に、
f(l+1)はl+1-α で
f(l+2)はl+2-α
　　・・・
f(l+n-1)はl+n-1-α で割り切れる。
ゆえにf(l)f(l+1)f(l+2)・・・f(l+n-1)はそれらの積 (l-α)(l+1-α)(l+2-α)・・・(l+ｎ-1-α)=
(l-α)(l-α+1)(l-α+2)・・・(l-α+n-1)で割り切れる。
ここがわからないところです。
l-αからはじまる引き続いたn個の整数の積だから、どこかにnの倍数がある。
自分はl-α=-3 n=4で計算をしたら、　-3,-2,-1,0 となり0が４で割り切れるのかと疑問に思ったり、
他の数を代入して計算してみても、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることが実感できませんでした。
解答の続きは、よってn個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。でした。
どなたか、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることを証明してください。お願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

L-αをnで割った商をp,余りをrとすると
L-α=np+r
0≦r<n
だから
r=0の時
L-α=np
がnの倍数になる
0<r<nの時
L-α+n-r=n(p+1)
がnの倍数になる
0<n-r<nだから
L-α<L-α+n-r<L-α+n
↓L-α+n-r=n(p+1)だから
∴
L-α<n(p+1)<L-α+n

お礼

計算による証明ありがとうございます。

回答No.4

178-tall

>余りが1からn-1のｎ-1個あり、割られる数f(l+a)がaは0からn-1までｎ個あり、余りはf(l+a)ごとに違うから、余り0がでてくるという考えでよろしいでしょうか？

当方のレスでは、「整数 f(l), f(l+1), … , f(n) 」を連続した n 個の整数とみなしており、
原題中の「２次式 f(x)=x^2+ax+b) 」とは別物でした。

そう割り切れば、f(l), f(l+1), … …, f(n) の中に n で整除可能なものが 1 つあるのは当然…という論法。
「２次式 f(x)=x^2+ax+b」を利用する利点が理解できなかっただけです。
　蒙御免。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

>整数a,bを係数とする２次式f(x)=x^2+ax+bを考える。f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
　は飛ばして、
>(2)任意の整数lと任意の自然数nに対して、n個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。
　を考えれば良さそう。

f(l), f(l+1), … …, f(l+n-1) は 1 ずつ増えていく n 個の整数列。
　　　↓

まず f(l) を n で割ったときの余りが 0 なら、f(l) は n で割り切れる、ということ。
(f(1) = 0 の場合を含む)

また、f(l) を n で割ったときの余りが 0 ではない場合、その余りは 1 以上で (n-1) 以下。
それに続く n 個の f(l+1), … …, f(l+n-1) は順に 1 ずつ増えていくから、f(l+n-1) まで
の間で必ず 0 になる (ちまり、n で割り切れる、ということ) 。

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

よかったらお返事ください。
余りが1からn-1のｎ-1個あり、割られる数f(l+a)がaは0からn-1までｎ個あり、余りはf(l+a)ごとに違うから、余り0がでてくるという考えでよろしいでしょうか？

回答No.1

asuncion

ある整数は1で割り切れる。
その整数より1小さい整数を左隣に、または1大きい整数を右隣に並べる。
このようにして2つの整数を連続して並べると、どちらかは必ず2で割りきれる。
連続している2整数を1つのかたまりとしてとらえ、その左隣に2整数の小さい方よりも
1小さい整数を並べるか、右隣に2整数の大きい方よりも1大きい整数を並べる。
このようにして3つの連続する整数を並べると、その中に3の倍数が必ず1個存在する。
以下同様に、n個の連続する整数を並べると、その中にnの倍数が必ず1個存在する。
よって、連続するn個の整数の積は、nで割り切れる（実はnの階乗で割り切れる）。

お礼

お返事ありがとうございます。　パズルのような証明ですね。