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２次方程式で根号内が完全平方
２次方程式の解の公式で、根号内が完全平方でn>0としてn^2とおける理由がわからないので質問します。 4けたの整数で、その下２けたの数と上2けたの数との和の平方と等しくなるものを求めよ。という問題があって、 4けたの整数の上2けたの整数をA,下2けたの整数をBとすると、4けたの整数は 100A+Bとかけるから、題意によって次の方程式が得られる。100A+B=(A+B)^2 展開してAについて整理すると A^2-2(50-B)A+(B^2-B)=0 Aについて解けば、 A=50-B±√{(50-B)^2-(B^2-B)}=50-B±√(50^2-99B)・・・(1) Aは整数だから根号内は完全平方で、ここからがわからないところです。これをn^2(n>0)と置けば、・・・自分はn^2=±nだから(n>0)となる理由がわからないのです。B≧0,√n^2=|n|,Aについての２次方程式に対して、解と係数の関係など試してみたのですが、(n>0)とする理由、n≦0を除ける理由がわかりません。どなたかn>0とできる理由を教えてください。 解答のつづきは、n^2=50^2-99Bより 99B=50^2-n^2・・・(2) ∴ 3^2*11*B=(50+n)(50-n)ゆえに右辺は11の倍数となり 50+n,50-nの一方は11の倍数になる。50+nが11の倍数で、55,66,・・・,99のときのnの値をあげ、50-nが11の倍数で、44,33,22,11のときのnの値をあげ、(2)や(1)に代入し適当な整数になるものを選びます。答えは2025,3025,9801です。
- situmonn9876
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- 178-tall
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√(50^2-99B) は、「2 乗すると 50^2-99B になる数のうちの正値」を意味します。 50^2-99B≧0 なら「正負の実数」ですけど、√ では「正値」をとることになっているため、 A=50-B±√{(50-B)^2-(B^2-B)}=50-B±√(50^2-99B) では「2 乗すると 50^2-99B になる数」 の正負双方ともを使うので、わざわざ±を付けているのです。
お礼
お返事ありがとうございます。 ±や実数などの説明を受けても、自分では頭が痛いだけで、疑問の解決にはいたらないと思います。これ以上のお返事はつらいだけなので、ここまででお返事をやめてください。おねがいします。
二次関数
お礼
ちょっと自分ではついていけません。何度も回答をいただき、ありがとうございました。(±√n^2、±ｎ、n^2などでｎに代入するものがわかりづらくて頭が痛いです。)
こんにちは。 ＞(50^2-99B)=n^2とおけば、A=50-B±√(n^2)=50-B±|n|・・・(1) ＞(1)はn>0のとき、50-B±n。n<0のとき、50-B±nになって、 ＞Aは実数根になるとおもっていました。回答者様は(50^2-99B)=nとおくと思ったと ＞推測しました。自分の考えが間違っていたら訂正おねがいします。 ＞(50^2-99B)=n^2とおけば そう置いてもよいのですが、√(50^2-99B)は正数でなければならない。 負数になってはいけない。何故なら、負数になると”A"が虚数根になるからです。 だから、そうならないようなA,Bを求めることになります。 ＞答えは2025,3025,9801です。 この答えは、正しいようです。ただ問題集にあった解答で、貴方が 解いた答えではないのですよね？ で、解き方がわからないので、教えてくれと言う質問ですよね？
お礼
虚数根については、もう一度調べてみます。お返事ありがとうございます。
A=50-B±√{(50-B)^2-(B^2-B)}=50-B±√(50^2-99B)・・・(1) ですよね。 n>０にしないとn<0とすると、Aは複素数根になって題意に反する。 実数根の範囲の問題なので。
お礼
お返事ありがとうございます。
補足
良ければお返事ください。 (50^2-99B)=n^2とおけば、A=50-B±√(n^2)=50-B±|n|・・・(1) (1)はn>0のとき、50-B±n。n<0のとき、50-B±nになって、Aは実数根になるとおもっていました。回答者様は(50^2-99B)=nとおくと思ったと推測しました。自分の考えが間違っていたら訂正おねがいします。
- gamma1854
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aを正数として、X^2=a ...(*) で、aがたまたまある整数の完全平方となっているとき、a=n^2, (nは正整数) とおけます。これがどうも・・・というのなら、 a=n^2, (n<0) とおいても同一です。 (*) の解は、X = ± |n| = ± n. です。 ーーーーーーーーー ex) 「361は完全平方数」です。361=n^2 となる正整数があります。n=19 です。 しかしもちろん、n^2=361 ⇔ n=±19. です。
お礼
具体例をあげてくださり、ありがとうございます。
補足
よければお返事ください。n^2は+nでも-nでも代入すると同じ値になるので、99B=50^2-n^2のｎに数を代入してBの整数値をさがすとき、n>0の範囲だけでもよいということでしょうか？
- gamma1854
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Ｘ＝ ± √(A^2), を考えます。この場合、n を正数として、 √(A^2) = n, とおけば、X = ± n. と、２つをもれなく表現しています。
お礼
お返事ありがとうございます。
補足
良かったらお返事ください。質問文に当てはめると、A^2=(50^2-99B), X=±√(50^2-99B)=±√(A^2),n>0で√(50^2-99B)=√(A^2)=nということですか? n<0は√{f(x)}>0だからできないのですか？ 間違っていたら訂正お願いします。
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