整数問題

質問

出典：東京出版、新数学演習　問題1・13より

解答を読み進め、以下で進まなくなりました。
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"4桁の整数で。その下2桁の数と上2桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。"
解答)　
上2桁をa、下2桁をbと置く
100a+b=(a+b)^2
a^2+2(b-50)a+b^2-b=0
a=50-b±√(50^2-99b) …(1)
このaが整数であるための条件は√の中が平方数であることで、そこで、
50^2-99b=n^2 (nは0以上の整数) …(2)
とおくと、まず0≦n≦50であり、(2)の両辺を9で割った余り
(左辺の余りについては暗算で7)について考えると
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ここまでは完全に理解できています。問題は以下。
-------------------------------------------------------------------
nは9で割ると余りは4or5　…(※)
(以降略)
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この1文でつまずいています。
本解答は以降、同様に11で(2)の両辺割った余りを考察し、
0≦n≦50でこれらを満たすn(n=5,49,50)を求め、(1)(2)から整数解を
出しています。(解：2025、3025、9801)
この流れは理解できますが、上の一文だけは展開矛盾を感じています。

こういう形でなく、
"n^2を9で割った余りが7になる最小のnは4or5"
という言い回しなら分かりますが、(※)は
n^2ではなくnについて言っています。
しかも4と5を余りといっています。

ただ本誌も何年も刊行されてますし、誤植ものではないと思います。

合同式の知識が浅はかなので、その辺で私が読み取れていない部分が
ありそうですが、有識な方の解説を頂ければ幸いです。

回答No.4

gef00675 · ベストアンサー

おっと、間違えた。＃３訂正です。

(3)の場合は３の倍数同士の積が正解でした。

(3) 3m×3k≡0 (mod 9) (m,kは整数）
3で割ったあまりを考えれば、
n+5≡0 (mod 3)
n-5≡0 (mod 3)
でなければならないが、辺々引くと
10≡0 (mod 3)
となってしまって、それはありえない。よって、(3)の場合は不可能。

よって、n≡4または5 (mod 9)である。

ついでに11で割ったあまりのほうもやってみると、

50≡6 (mod 11)だから
n^2≡50^2-99b≡50^2≡6^2 (mod 11)　
よって、(n-6)(n+6)≡0（mod 11)
11は素数なので、
n-6≡0（mod 11)
n+6≡0（mod 11)
のどちらかの場合に限られる。
よって、n≡5または6（mod 11)

こうして、問題は
n≡4または5 (mod 9)
で、かつ、
n≡5または6（mod 11)
であることに帰着された。
この連立方程式を解くための一般的な方法はあるにはあるのだが、（中国剰余定理という）数値が小さいときには、一個一個代入して探したほうがはやい。
n≡4 (mod 9)、かつ、n≡5（mod 11)の場合
5,5+11,5+11*2,...,の中で9で割って4余るものを探すと、
n≡49 (mod 99)
n≡5 (mod 9)、かつ、n≡5（mod 11)の場合、n≡5 (mod 99)
同様にして
n≡4 (mod 9)、かつ、n≡6（mod 11)の場合、n≡94 (mod 99)
n≡5 (mod 9)、かつ、n≡6（mod 11)の場合、n≡50 (mod 99)
よって、n≡5,49,50,94 (mod 99)
したがって、0≦n≦50の範囲では、
n=5,49,50
の３つのみである。（説明のため一般解を示したが、解答ではもちろん最初から50以下の範囲で探せばよい）

お礼

追記補充ありがとうございます。
中国剰余定理は聞いたことがあって、興味あるので今度調べてみます。

お察しのように、この問題、
-----------------------------------
n≡4または5 (mod 9)
で、かつ、
n≡5または6（mod 11)
であることに帰着された。
-----------------------------------
ここからがまた実は大変なはず。
試験場でエクセルとか使えないんだから…
ここの裏方作業も解説頂き、大変感謝です。

ありがとうございました!!

回答No.3

gef00675

次のようなことを知っておくといいでしょう。
xおよびyをそれぞれnで割った余りが等しいことを、x≡y (mod n)と書くことにします。
a≡a', b≡b' (mod n) とするとき、　
　a+b≡a'+b' (mod n)
　a-b≡a'-b' (mod n)
　ab≡a'b' (mod n)
このことから、≡は、和・差・積の演算について、等号と同じように扱えます。さらに、
aとnが互いに素であるとき、
ax≡1 (mod n)　
となるようなx（乗法の逆元）が存在する。「aとnが互いに素」という条件ははずせません。
このことから、
aがnと互いに素であるとき
ab≡0 (mod n)ならば　a≡0 (mod n)またはb≡0 (mod n)

以上のことを使うと、n^2=50^2-99bは次のように解くことができます。
n^2≡50^2-99b≡50^2≡5^2 (mod 9)　（50≡5だから）
（以下(mod 9)は略す）
よって、
n^2≡5^2
移項してn^2-5^2≡0の左辺を因数分解すれば
(n-5)(n+5)≡0
この式を満たす数は、
(1) 0・a≡0　(aは任意の整数）
(2) a・0≡0
(3) 3・3≡0
の３通りしかない。
(1)の場合は、n-5≡0 だから、n≡5
(2)の場合は、n+5≡0 だから、n≡-5≡-5+9≡4
(3)の場合はありえない。なぜなら、
n-5≡3だから、n≡5+3≡8
同時にn-5≡3でもあるから、
n≡-5+3≡-2≡-2+9≡7
でなければならないことになるが、それは不可能。

(3)のようなことがある点に注意するほかは、普通に２次方程式を解くのと同じようにやっていることが、わかると思います。だから、模範解答は途中省略したのかもしれませんね。

お礼

ありがとうございます。
大分詳しく書いていただいたのでかなり納得しました。
合同式で試行導出だけでなく数式処理でnの解が出せるのですね。
ちょっと修行が必要そうです。
少し問題を集めて練習して見ます。

単純に本書ですが日本語の問題もありますが、少し先を見えた状態での解答すぎますよね、
当人がレベルに達していないこと、解析力不足もありますが…
裏方的な試行作業や基本事項、計算は解答に入れませんが、
せめて蛮人にも分かるよう注釈して欲しい。
(分かれば単純なことを難しく見せてるきらいも感じております。)

回答No.2

8310W8

おはようございます。
こんなに朝早くから数学の勉強をしているのですね。
ご立派！！！です。

さて、朝から頭の体操をしました。

n=9m+lとします。
n^2=81m^2+18ml+l^2です、
この式が9で割ると余りが7になる場合を考えます。
81m^2+18mlは９の倍数ですので無視しますと、
l=0のとき l^2=0 9で割ると余り0
同様に
l=1 1 1
l=2 4 4
l=3 9 0
l=4 16 7　←
l=5 25 7　←
l=6 36 0
l=7 49 4
l=8 64 1
ですので、
「n^2を9で割って余りが7になる」場合
「nを9で割れば余りが4か5になる」
ことが判ります。

結構めんどくさいですね。
もう少し簡単な方法があるかもしれません。

お礼

"こんなに朝早くから数学の勉強をしているのですね。
ご立派！！！です。"
そうではなくて、理解できなくて眠れなかったのが正解です。(笑)

アドバイスとしては、kiwaさんと同じ視点で
n=9m+k
的な考え方ですよね。

ありがとうございます。

回答No.1

kiwa67

50^2-99b=n^2
を９で割ったあまりに関して、左辺に関して考察します。
　　2500 - 99b
-99b は、9 の倍数なので、９で割ったあまりは、０。
2500 を 9 で割ったあまりは、７。
したがって、左辺を９で割ったあまりは、７なので、n^2 を９
で割ったあまりは、７

n^2 を９で割ったあまりが７のとき、n を９で割ったあまりを
考えます。

n を 9a, 9a+1, .... , 9a+8 とおいたとき、
おのおのに関して、n~2 を ９で割ったあまりを考察すれば、
n を９で割ったあまりは、4 or 5 にいきつきます。

参考までに上記パターンの２乗数を９で割ったあまりを以下に
対象数　　　　平方数を９で割ったあまり
9a 　　　　0
9a+1 1
9a+2 4
9a+3 0
9a+4 7 *
9a+5 7 *
9a+6 0
9a+7 0
9a+8 1
----

お礼

早くからご回答ありがとうございます。
n=9a+k (k=1,2,3…)
と置くわけですね。なるほど
当方もよく分からなかったので、エクセルで
n, n^2, n^2(mod9), n^2(mod11)
1 1 1 1
2 4 4 4
|

といった解析でn=50まで検証して
余剰の周期性(あたりまえか)とか、解の結果は確認していました。
ただ、書籍内の解はkiwa67さんのような明示がないですね。

0≦n≦50で単純にn=0,1,2,…,50として、
上表右にn(mod9),n(mod11)としますと

n(mod9) ：1,2,3 - 8,0 -
n(mod11)：1,2,3 - 10,0 -

となります。
"nは9で割ると余りは4or5"
私の日本語の取り方がまずいのでしょうか…