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整数の問題です。
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p=4 のとき n(n+4)=m^2 となる自然数n,mが存在すると仮定すると (n+2)^2-m^2=(n+2+m)(n+2-m)=4 n+2+m>n+2-m>0 だから n+2-m=1 n+2+m=4 2m=3 となってmが自然数である仮定に矛盾するので p=4 のとき n(n+p)が平方数となるような自然数nは存在しないので 自然数nをpで表すことはできない p=8n となる自然数nが存在するとき n(n+p)=9n^2=(3n)^2 は平方数となる p=mq m自然数,q≧3,q奇数 となるm,qが存在するとき n=m{(q-1)^2}/4 とすると q-1は偶数だから k=(q-1)/2 は自然数となり n=mk^2 q=2k+1 p=mq=m(2k+1) n(n+p)=mk^2{mk^2+m(2k+1)}={mk(k+1)}^2 は平方数となる
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
← A No.10 なるほど、そうか。 A No.5 の条件を A No.8+9 を使って改訂すると、 解 n が存在する条件は、p の因数のひとつ q が 平方数の差で q = m^2 - k^2 と書けること …となる。 q が奇数の場合は、q = 2r+1 = (r+1)^2 - r^2 より解がある。 q = 8 = 3^2 - 1^2 の場合にも、、解がある。 3 以上の自然数 p が、奇数も、8 も、因数に持たない のは、p = 4 のときのみ。 p = 4 のとき解がないことを示せば、 存在条件は完結ですね。
お礼
存在条件に持ち込むとうまくいくということがわかりました。p=4の時にnをpで表すことができないなどの問題の不備も出てきてしまい、申し訳ありません。とにもかくにも回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
なるほど！ p と 2α が互素でない場合が、抜けてましたね。 その場合、p, 2α の公約数は、 p, 2α, 2n+p の公約数 でもあるから、 それが 2 でなければ、p, n の公約数でもある。 p=3 に対する n を 5 倍したものと、 p=5 に対する n を 3 倍したものも、 p=15 に対する解の候補になりますね。 これは、失礼しました。
お礼
公約数の性質を考えるとそうなるのですね。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
ちょっと全部は追ってないですが、 > a^2 + b^2 = c^2 ⇔ (a,b,c) = >(m^2-k^2,2mk,m^2+k^2) ; mとkは互素 取り敢えずここは、本当はここは「但しa,bが互いに素」という条件が隠れています。 15 = 3 * 5ですが、（まだ良く追ってない）No5さんの式を見てみると、例えば3=(m'+k')(m'-k')を解くと、(m',k') = (2,1)というのがあって、でn'=k'^2=1としておいて実際にはこれを5倍するとn=5が出てきます。 同様に5に対してm'=3, k'=2というのがあって、n'=k'2 = 4に対して n = 4*3=12が出てきます。 nの素因数分解を考えるとうまくいくのかなあ？？
お礼
説明の意味は僕もわかりました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
そう？ 例えば p=15 のとき、 15 = (m+k)(m-k) から 15 = uv, u = m+k, v = m-k と分解できて、 (u,v) = ±(1,15), ±(15,1), ±(3,5), ±(5,3) より (m,k) = ±(8,-7), ±(8,7), ±(4,-1), ±(4,1) と判る。 よって、n = k^2 = 49, 1。 ほんとだ、二組しか出ないね。
お礼
今の説明は僕もわかりました。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
No.5さん、それやってみたんですが、うまく計算できませんでしたよ。
お礼
そうでしたか。僕はよくわかませんでした。本当に僕のミスで申し訳ありません。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
2n+p)^2 = (2α)^2 + p^2 の後は、ピタゴラス数の話にしちゃえば？ 参考： http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/py_num/py_num.htm a^2 + b^2 = c^2 ⇔ (a,b,c) = (m^2-k^2,2mk,m^2+k^2) ; mとkは互素 だが、m^2-n^2 は奇数だから、A No.1 の式の解は (p,2α,2n+p) = (m^2-k^2,2mk,m^2+k^2) ; mとkは互素 解 n が存在する条件は、p が平方数の差で p = m^2 - k^2 と書けることで、 p が奇素数とか、平方数とか、立方数とかなら ok。他にもあるかな？ 必要十分条件は、よくわからない。 m,k が存在すれば、n = k^2 = (1/2){ -p ± √(p^2+4α^2) } となる。 p に対応する α が一個でないため、n は p の式で一意には表せない。
お礼
数学が苦手なので、その方法は思いもつきませんでした。pの条件は素数でした。申し訳ありません。m(_ _)m
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
そうだね、うっかりしてた。 p＝3m、p＝3m＋1、p＝3m＋2 で場合わけが必要だね。
お礼
回答ありがとうございました。ところで、３の剰余類に分けることができた理由を教えてもらいたいです。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
No.2さんに便乗して、例えばp＝15とすると、題意を満たすnは少なくとも4つも出てくる。
お礼
はい、そうなります。pは素数でした。本当にすいません。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
これ、pは3以上の「整数」とは書いてあるんだけど、「素数」とは書いてないんですよね...
お礼
申し訳ありません。pは素数という条件でした。本当に申し訳ありません。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
n(n+p)＝α＾2とする。但し、αは非負の整数。 (n+p/2)＾2－p＾2/4＝α＾2 つまり (2n+p)＾2-(2α)＾2＝p＾2 (2n+p+2α)*(2n+p-2α)＝p＾2 p＾2＝1×p＾2、or、p×p。 2n+p+2α≧2n+p-2α から (2n+p+2α、2n+p-2α)＝(p＾2、1)、(p、p) 実際に計算すると、(2n+p+2α、2n+p-2α)＝(p＾2、1)の時は p＾2＝1から不適。 (2n+p+2α、2n+p-2α)＝(p、p)を計算すると n＝(p-1)＾2/4。
お礼
素早い回答ありがとうございました。理解できました。pの条件が整数としたのは僕のミスでした。本当に申し訳ありませんでした。
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お礼
回答ありがとうございました。pが整数の場合を考えると納得いきました。問題のミスでnがpで表せないことが出てきたり申し訳ありませんでした。今回は色々とありがとうございました。pが素数の時を考えるよりも色々なことを考えることができました。