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高校数学 不定方程式（百五減算）について
数学Aの問題で教えて頂きたいことがあります。 フォーカスゴールド（Ⅰ・Ａ）の例題２６２で 「３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると４余る３桁の正の整数のうち、最大のものを求めよ。」 解答（別解）として、「N＝１５a+３５b+２１c（a、b、cは整数）という数を考える。」とあり、合同式を用いて方法を使っているのですが、なぜそのような式を立てようと考えるのかがしっくりきません。 確かに３と５の最小公倍数１５、５と７の最小公倍数３５、３と７の最小公倍数２１はわかりますが、N＝１５a+３５b+２１cと置くと理由がわかっておりません。 宜しくお願いします。
- kunkunken
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f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1を満たす2次式f(x)を求めよ。 という問題を考えます。もちろんごく普通にやって解けます。 これを次のように解くことができます。 求めるf(x)をf(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1)とおく。 f(1)=2b=2,f(2)=-2c=3,f(3)=2a=1より･････ これと同じやり方です。 (x-1)(x-2)はx=1,2では0になる、(x-2)(x-3)はx=2,3では0になる、･･･ これを知っていればN＝15a+35ｂ+21cとおくのは難しくない。 N＝15a+35ｂ+21cとおく。 15は3,5で割り切れる、35は5,7で割り切れる、･･･より Nを3で割った余りは35bを3で割った余りで2bを3で割った余り Nを5で割った余りは21cを3で割った余りでcを3で割った余り ･････ 参考書とかに載ることが時々あるようですが、これを合同式を 使った標準的な方法とか思われるのは非常に迷惑です。 合同式を使った普通の解法は ７で割ると４余るからN=7k+4(kは整数)と書ける。 7k+4≡3 (mod 5)より2k≡-1≡4,k≡2 (mod 5),k=5m+2(mは整数)と かける。N=7(5m+2)+4=35m+18, 35m+18≡2 (mod 3)より -m≡-1,m≡1 (mod 3) m=3n+1とおける。N=35(3n+1)+18=105n+53 以下略
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- f272
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#1さんの言うように「合同式が使えて簡単に解けるから」ではしっくりこないのかなあ？ なお，普通の百五減算ではN=105k+15a+70b+21cを考えます。 これであれば N=105k+15a+70b+21c=3(35k+5a+23b+7c)+b N=105k+15a+70b+21c=5(21k+3a+14b+4c)+c N=105k+15a+70b+21c=7(15k+2a+10b+3c)+a となるのでb=2，c=3，a=4です。 つまりN=105k+15*4+70*2+21*3=105k+263ですから，3桁の正の整数のうち、最大のものを求めるにはk=7とすればよい。
お礼
f272 さん ご回答頂きありがとうございます。 もう少し考えてみたいと思います。
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ATZ1229tkt さん ご回答頂きありがとうございます。 大変参考になりました。