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除法
考え方について教えてください。 例1 ある整数で４５を割ると３余り、７１を割ると５余る。ある整数の求めかたで、この問題を解く方法は最大公約数を利用します 例2 ３で割っても５で割っても６で割っても２余る２桁の自然数のうち最大のものは？ この問題の解き方は最小公倍数を利用。 〇問題によってどんな時に最大公約数、最小公倍数を利用するのか分かりません。 例２で聞きたいのですが、 求める自然数をxとし、３で割った商をa,５で割った商をb、６で割った商をcとすると x-2=3a x-2=5b x-2=6c 最小公倍数から30となりました。 この後、どのように考えるのか分かりません。
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ＸxＹ＝Ｚ （Ｘ、Ｙ、Ｚは整数）のとき、 ・ＺはＸ、Ｙの倍数 ・Ｘ、ＹはＺの約数 これはいいですか？＿ 例１ 最大公約数というより、「公約数」を使うんだと思うのですが・・・。 ＞ある整数で４５を割ると３余り つまり、４５から３を引いた数は「ある整数」で割り切れます。 つまり４５－３＝４２は、「ある整数」の倍数です。 もう一つも同様に、７１－５＝６６は「ある整数」の倍数になります。 つまり、「ある整数」は４２と６６の共通の約数、すなわち公約数です。 ですから、この二つの数の公約数を拾い出し、 その組み合わせの中から適合する数を選び出します。 「ある整数」は、必ず余りの数より大きくなることにも注意してください。 例えば 「ある整数で１２９を割ると３余り、２０３を割ると５余る。」 これを満たす「ある整数」は、６，９，１８の３つあります。 例２ ＞３で割っても５で割っても６で割っても２余る →求める数をＸとすると、「Ｘ－２」は、 ３の倍数であり５の倍数であり、また６の倍数でもある（＝３と５と６の公倍数）、ということです。 （ここまではできていますね） ＞最小公倍数から30となりました。 あとは、「３０」の倍数で、 「１００－２＝９９（←２桁なので）」以下の 最大のものを選び出して、最後に２を足してあげればそれが答えです。
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- ccyuki
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例1 ある数をxとして45を割った時の商をa、71で割った時の商をbとする。 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) なので 45=ax+3 71=bx+5 よって ax=42，bx=66 ここで a,b,x はみんな自然数だから xは 42 の約数であり しかも 66の約数でもある。 つまり 42と66の 公約数となる また余りが 5なので x≧6 あてはまるものは 6 例2 途中からです。 x-2=3a x-2=5b x-2=6c なので x-2 は 3の倍数であり 5の倍数であり 6の倍数 つまり 3,5,6 の公倍数 すなわち 30,60,90,120,・・・・ ２桁の自然数のうち最大のものは 90 となり x-2=90 より x=92 問題によってどんな時に最大公約数、最小公倍数を利用するのかは決まっていません。 例１では ax=42 という式から xは 42 の約数である。 ということに気づくかがポイントであり 例２では x-2=3a という式から x-2 は 3の倍数である。 ということに気づくかどうかがポイントだと思います。
いずれにしても、 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) に当てはめて式を作ることが出発点ですね。 例2の問題は、 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) (割られる数)-(余り)=(割る数)×(商) と変形しています。 Ａ=Ｂ×Ｃの形で、ＡはＢの倍数。ＡはＣの倍数。 また、ＢはＡの約数、ＣはＡの約数ということがいえます。 この見方で、次の式を言葉にすると、 Ｘ=3a→Ｘは3の倍数 Ｘ=5b→Ｘは5の倍数 Ｘ=6c→Ｘは6の倍数 つまり、Ｘは3の倍数でもあり、5の倍数でもあり、6の倍数でもあめということから、Ｘは3と5と6の公倍数であるということが分かります。そして、公倍数を知るために、最小公倍数を求めるです。
No.1さんの考え方は逆です。
- CHIPDALE77
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＃１です。 ２番は解答が付いてたようなので＃２さんのをどうぞ。
例２で、x-2が30の倍数であることがわかります。 xは2桁の最大の自然数という制限がありますので、x-2は90となります。 よって、xは92です。
- CHIPDALE77
- ベストアンサー率21% (47/223)
１つずつ行きましょう。 まずは一番の方から。 最終的にＸを求めるものとする場合。 ある整数ＸをＹでわると… → Ｘ÷Ｙ この場合は最大公約数 ある整数ＸでＹをわると… → Ｙ÷Ｘ 最小公倍数
お礼
丁寧な説明どうもありがとうございました。