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整数について。

(1)最大公約数と最小公倍数の和が51であるa,b(a <b)の組は、?組あり、最大のa の値は、?である。 (2)和が546で、最小公倍数が1512である2つの正の整数を求めよ。 この2問にご教授願いたいです。すみません。

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  • asuncion
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(2) (1)と同様に、2つの自然数をa, bとし、最小公倍数 = L, 最大公約数 = Gとする。 a = Ga', b = Gb'(a', b'は互いに素な自然数) a + b = G(a' + b') = 546 L = Ga'b' = 1512 546と1512の最大公約数 = 42だからG = 42 このときa' + b' = 13, a'b' = 36 よってa', b'はt^2 - 13t + 36 = 0の2解 (t - 4)(t - 9) = 0, t = 4, 9 よって(a', b') = (4, 9), (9, 4) ∴(a, b) = (168, 378), (378, 168)

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  • asuncion
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(1) aとbの最大公約数 = G, 最小公倍数 = Lとする。このとき、 a = Ga', b = Gb'(a', b'は互いに素な自然数) GL = ab = G^2・a'b'より、L = Ga'b' L + G = G(a'b' + 1) = 51 L, Gは自然数だから (G, a'b' + 1) = (1, 51), (3, 17), (17, 3), (51, 1) (G, a'b') = (1, 50), (3, 16), (17, 2), (51, 0) (51, 0)は不適 i) (G, a'b') = (1, 50)のとき (a', b') = (1, 50), (2, 25), (5, 10) (5, 10)は不適 (a, b) = (1, 50), (2, 25) ii) (G, a'b') = (3, 16)のとき (a', b') = (1, 16), (2, 8), (4, 4) (2, 8), (4, 4)は不適 (a, b) = (3, 48) iii) (G, a'b') = (17, 2)のとき (a', b') = (1, 2) (a, b) = (17, 34) 以上より、条件を満たす(a, b)の組は4つあり、それらのうち aが最大となるのは17

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